Le cahier des intégrales "généralisées"

[vejitoblue]

Salut, j'aurais pu mettre ça dans le même cahier que les séries, sauf que j'ai pas du tout d'expériences en calcul d'intégrales donc on va revoir les bases avant de chercher si des intégrales impropres convergent ou pas ce qui revient toujours à calculer (sic)

premier exemple, normalement c'est simple pour un mec en L2 maths, donc ça doit se faire les doigts dans le nez, ce qui est pas du tout mon cas


là je me dis qu'il faut décomposer en éléments simples c'est le plus dur après on déduira des primitives bidons style la somme des ln(machin)
si j'ai bien compris on doit avoir une égalité du type:

je trouve avec un bête calcul qui m'a quand même pris 20 minutes que A=-1 et B=C=1



à priori une primitive de 1/truc² ce sera [-1/truc], on a besoin de faire un changement de variable genre t=x+1 ou pas

[pascal16]

je trouve avec un bête calcul qui m'a quand même pris 20 minutes que A=-1 et B=C=1

Rappel :
"je multiplie par (x+1)² de chaque coté et je pose x=-1", l'égalité devient B=1
"je multiplie par (x+2) de chaque coté et je pose x=-2", l'égalité devient C=1
je pose x=0, j'ai 1/2 = A+1+1/2 soit A=-1,
je vérifie la cohérence avec x=1 par exemple

le terme est déjà sous la bonne forme :
-1/(x+1)² : on reconnait une forme -u'/u² avec u = x+1, c'est la dérivée de 1/u

[aviateur]

Bonjour
Le calcul de A,B, C ne doit pas prendre 20mn.
Tu calcules C et B par un procédé standard :
et
Je viens de voir la réponse de Pascal16. C'est donc comme il dit.

Par contre pour le calcul de A, je préfère choisir comme valeur particulière l'
En effet en l'infini le membre de gauche est donc nécessaire on doit avoir A+C=0.

[vejitoblue]

merci , ça marche
une autre (elle à l'air simple)

(1)
en général on essaye de casser les puissances des fonctions trigonométriques.
sin²(x)=1/2 * (1-cos(2x)) avec les propriétés basiques de sin et cos
du coup
(1)=pi/2 j'ai bon

[aviateur]

Tu peux l'ecrire correctement?

[vejitoblue]

c'est fait aviateur

[aviateur]

Si c'est alors



Donc

Ta méthode est bonne mais tu as fait une erreur

[vejitoblue]

ouais j'ai oublié le facteur 1/2 à la fin du calcul, sympa en tout cas cette méthode, merci =)

[vejitoblue]

hello!

pour les intégrale du type , c'est quoi l'astuce
on peut transformer ça en 1+x^n/1+x^n, je vois pas quoi en faire à première vue, j'avais aussi penser à un changement de variable en cos ou sin mais ça à l'air pire

[aviateur]

Tu peux mettre des bornes?

Sinon pour n=1 où 2 c'est connu.

De façon générale il faut décomposer en éléments simples (sur C) , c'est facile les pôles étant tous d'ordre 1.

[vejitoblue]

on intègre sur 0 1
je vais essayer la DES dans C pour n=3 et 4 et chercher l'astuce pour n=2 et je te dis ce que je trouve ++

[vejitoblue]

salut!
je viens de test la des de 1/(1+x^3) ça me donne avec
et z' son conjugué

je trouve a= 2
b=(i3V3/2-3)^-1
je suis pas capable de voir plus loin mais j'ai compris le principe. Mais là on résout dans C pas dans R bref suis perdu

[aviateur]

Bonjour
Tu décomposes en éléments simples sur C.
Les racines de sont
et


avec

Si tu veux calculer dans R, tu regroupe les termes conjugués et tu pourras intégrer.

Disons que faire le détour par C permet de généraliser le calcul.

[vejitoblue]

salut!
on veut déterminer la nature de l'intégrale:

(1)

y a du ln(1+x) donc mon instinct dit "faut trouver un equivalent frère"
mais je sais pas si c'est la méthode (j'ai pas lu de cours je suis en mode full calculette, ce sera plus simple après pour focus sur la théorie), parce qu'à un moment (entre sin -pi/2 et 0) ln(truc) va etre négatif donc est-ce que ça marche

du coup ce que j'ai fait:
ln(1+sinx)= ln(1-cost) avec t=x+pi/2 et comme cos t est un voisinage de 0
ln(1-cost) -cos(t) en 0, on fait pareil pour la borne en pi/2 et l'intégrale (1) converge par le théorème de comparaison

ça c'est l'idée, dites moi si c'est good, si y a des erreurs de raisonnement ou autre =)

merci au fait avaiateur t'es un pro, tu vois des trucs que je soupçonne même pas

merde j'ai fait le con encore cos (t) converge vers 1 donc l'équivalence est cassé

[vejitoblue]

je l'ai
cos t = 1- t²/2 + o(1/t²)

ln(1-cost)= ln(t²/2+o(t²))

[aviateur]

merci au fait avaiateur t'es un pro, tu vois des trucs que je soupçonne même pas

C'est normal aviateur c'est celui qui voit de haut. (Bon! parfois je ne vois rien à cause des nuages).

Sinon aië! pour ton DL En effet est ce que tu es sûr de ton o(1/t^2). Et puis c'est quoi ta conclusion?

[vejitoblue]

attends que je remette mes idées en place :p

ah oui donc ln(1+sinx) 2ln(t) et converge donc (1) converge

mais j'avoue que c'est encore flou je rédige un truc propre et je reviens

[aviateur]

Autre remarque il me semble que l'intégrale on peut la calculer. En utilisant des trucs comme
et des symétries de cos et sin par rapport à

[vejitoblue]

salut! ça progresse mais des fois ça bloque.

pour la (1) j'attend une confirmation que c'est good

alors, on veut savoir la nature de:
(1)
je cherche un moyen pour pas avoir à expliciter de primitives: pour tout t
et notre intégrale converge absolument par le théorème de comparaison. si on change les borne ça se complique vachement:

(2)
j'imagine que ça diverge, mais je sais pas trop par quel bout prendre, j'ai pensé à DL le sin en 0, j'ai aussi fait une IPP que j'ai laché après m'être retrouvé avec un terme integrale en ln()cos()

edit, à moins que sint ~ t qd t->0 et on voit que la primitive de 1/x (ln) tends vers -00 qd t tends vers zéro

[vejitoblue]

salut
on veut montrer la convergence et calculer:


bon j'ai calculé direct avec une DES elle converge vers ln3 si j'ai pas fait d'erreur.


celle ci j'ai du mal à la calculer facilement, et quand je fais une ipp je me retrouve à devoir intégrer du arctangente (à part cos et sin, j'ai pas trop d'expériences sur les fonctions trigonométriques, il va falloir que je les étudie).


celle-ci je cherche aussi un moyen de calculer facilement (sans faire de DES ou de calculs trop lourd), je sais quelle converge au voisinage de infini (car équivalente à une intégrale de riemann convergente), en 0 j'ai pas encore chercher, mais y a moyen encore de conclure avec riemann.

++ les gens (enfin aviateur du moins)