Exercices d'intégration, primitive, nature des intégrales

[EliasElie]

Bonjour à tous je suis en prépa ATS pour ce qui ne connaisse pas c'est une année de prépa pour les élèves venant de DUT ou de BTS voulant intégré une écoles d'ingénieur afin de se remettre a niveaux. mon problème est que j'ai une colle à faire pour la semaine qui arrive et je n'arrive pas à trouvé les résultat soit par des erreurs de calcul, un mauvais choix du changement de variable, une mauvaise décomposition d'élément simple enfin bref je ne sait pas ou je vais dans mes calcul si quelqu'un pouvait me donner un coup de main ou quelque indice ce serait très gentil de sa par. Si joint la feuille d'exercice [url=http://web.me.com/gonzalez.patrick/ATS0809/Mathématiques_files/exercice14-0809_1.pdf]http://web.me.com/gonzalez.patrick/ATS0809/Mathématiques_files/exercice14-0809_1.pdf[/url]
[img]exercice14-0809_2.jpg[/img]

[arnaud88]

Je crois que le lien ne fonctionne pas.

[EliasElie]

Je crois que le lien ne fonctionne pas.

pourtant j'y accède depuis mon ordinateur! :hein: bizarre.

[SimonB]

Pour quel exercice as-tu du mal ?

Bon courage pour la prépa ATS, c'est une belle idée.

[EliasElie]

Pour quel exercice as-tu du mal ?

Bon courage pour la prépa ATS, c'est une belle idée.

Merci je vais en avoir besoin du courage. pour l'instant j'ai du mal avec le premier exercice
sinon sur la colle le seul exercice que j'ai réussi c'est le dernier n°4
et le changement de variable de l'exercice 3 petit 2
(pouvez vous m'indiquer ce que le post multi-forum pour que je cesse de l'utilisé merci d'avance ?

[SimonB]

Pour l'exo 1 on donne la forme de la primitive attendue : F(x) = a arctan(bx+c). Pose donc F sous cette forme et cherche à déterminer a, b et c.
Normalement, tu connais la dérivée de arctan, ainsi que la dérivée d'une fonction composée. Dérive donc f et cherche à identifier à .

[EliasElie]

Pour l'exo 1 on donne la forme de la primitive attendue : F(x) = a arctan(bx+c). Pose donc F sous cette forme et cherche à déterminer a, b et c.
Normalement, tu connais la dérivée de arctan, ainsi que la dérivée d'une fonction composée. Dérive donc f et cherche à identifier à .

alors lorsque que je dérive je trouve après avoir développer je trouve maintenant lorsque j'identifie j'ai et il y a une incohérence dans les équations je ne vois pas ou est mon erreur car je sait a l'aide d'un logiciel de calcul que la primitive que je doit trouver est si quelqu'un peut m'aider a trouver mon erreur qui doit être très bête ou me donner une autre méthode pour arriver a la forme voulu plutôt que de partir de cette forme ce serait gentil de sa part.
pour le petit 2 pouvez vous me dire s'il faut commencer par une décomposition en éléments simples ?

[EliasElie]

quelqu'un aurait une idée ?

[Doraki]

il n'y a pas incohérence, c'est juste que tu identifies mal

tu as bien ab / ((1+c²)+(2bc)x+(b²)x²) = 1 /(1+x+x²),

En mettant tout au même dénominateur PUIS en identifiant, tu devrais avoir que :

ab = 1+c² ;
ab = 2bc ;
ab = b²

[EliasElie]

je ne comprend pas pourquoi c'est correct pour moi il y a une incohérence car tu trouve
ab=1+c^2
ab=c^2

cela signifie que c=sqrt(ab)=sqrt(ab-1) cela n'est pas possible

[Doraki]

Ouais j'ai mal recopié ce que t'avais fait.
C'est corrigé maintenant.

[Black Jack]

1)
x²+x+1 = (x + (1/2))² + (3/4)

Poser (x+(1/2)) = ((V3)/2).t

x²+x+1 = (3/4).(t²+1)
et dx = ((V3)/2).dt

...

:zen:

[EliasElie]

ok tu fait enfait un changement de variable en posant x=(sqrt(3)/2)t-1/2
si j'ai bien compris?
dx=sqrt(3)/2dt
l'intégralle int(1/(1+x+x^2)dx = int((sqrt(3))/((6/4)(t^2)+6/4)dt

[EliasElie]

mais le résultat de cette intégrale est (2/3)sqrt(3)ln((3/2)t+3/2)
cela n'aboutit pas au résultat souhaité

[Black Jack]

2)

G(x) = (ax+b)/(1+x+x²) + c.F(x)

G'(x) = (a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1))/(1+x+x²)² + c.f(x)
= (a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1))/(1+x+x²)² + c/(x²+x+1)
= [a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1) + c(x²+x+1)]/(1+x+x²)²


[a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1) + c(x²+x+1)]/(1+x+x²)² = 1/(x²+x+1)²

a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1) + c(x²+x+1) = 1 + 0x + 0x²

développement du membre de gauche et identification des coefficients de même puissance en x des 2 membres .

on trouve facilement a, b et c ...

:zen:

[Black Jack]

ok tu fait enfait un changement de variable en posant x=(sqrt(3)/2)t-1/2
si j'ai bien compris?
dx=sqrt(3)/2dt
l'intégralle int(1/(1+x+x^2)dx = int((sqrt(3))/((6/4)(t^2)+6/4)dt

mais le résultat de cette intégrale est (2/3)sqrt(3)ln((3/2)t+3/2)
cela n'aboutit pas au résultat souhaité

Mais non mais non ...
Faut faire un peu attention.

En repartant de ce que tu as trouvé soit :
int(1/(1+x+x^2)dx = int((sqrt(3))/((6/4)(t^2)+6/4)dt

on a :

int (1/(1+x+x^2)dx = [(sqrt(3)/(6/4)] int 1/(t^2)+1)dt
int (1/(1+x+x^2)dx = [2/sqrt(3)] int (1/(t²+1)) dt

Et arrive bien à un arctg et pas à un log

:zen:

[EliasElie]

2)

G(x) = (ax+b)/(1+x+x²) + c.F(x)

G'(x) = (a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1))/(1+x+x²)² + c.f(x)
= (a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1))/(1+x+x²)² + c/(x²+x+1)
= [a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1) + c(x²+x+1)]/(1+x+x²)²


[a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1) + c(x²+x+1)]/(1+x+x²)² = 1/(x²+x+1)²

a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1) + c(x²+x+1) = 1 + 0x + 0x²

développement du membre de gauche et identification des coefficients de même puissance en x des 2 membres .

on trouve facilement a, b et c ...

:zen:

pourrait tu être un peut plus explicite sur ce que tu a fait je ne comprend pas très bien ta démarche mais je trouve avec ce que tu a fait
a=c=2/5
b=-1/5

[EliasElie]

Mais non mais non ...
Faut faire un peu attention.

En repartant de ce que tu as trouvé soit :
int(1/(1+x+x^2)dx = int((sqrt(3))/((6/4)(t^2)+6/4)dt

on a :

int (1/(1+x+x^2)dx = [(sqrt(3)/(6/4)] int 1/(t^2)+1)dt
int (1/(1+x+x^2)dx = [2/sqrt(3)] int (1/(t²+1)) dt

Et arrive bien à un arctg et pas à un log

:zen:

oui effectivement désoler pour cette erreur d'inattention

[EliasElie]

merci pour le 1 je pense que je vais utiliser le changement de variable qui est très "propre" et abouti au résultat en quelque ligne merci

[Black Jack]

pourrait tu être un peut plus explicite sur ce que tu a fait je ne comprend pas très bien ta démarche mais je trouve avec ce que tu a fait
a=c=2/5
b=-1/5

2)
on te donne la forme d'une primitive de g(x) = 1/(x²+x+1)² qui est G(x) = (ax + b)/(1+x+x²) + c.F(x)
avec F(x) une primitive de l'exercice 1

Par la définition des primitives, on doit avoir G'(X) = g(x)
et on a aussi F'(x) = f(x)

Donc g(x) = G'(x) = [(ax + b)/(1+x+x²) ]' + c.f(x)

g(x) = [(ax + b)/(1+x+x²) ]' + c.f(x)

on remplace g(x) et f(x) par leur expressions qui sont connues, on fait la dérivée [(ax + b)/(1+x+x²) ]'
On développe et on simplifie et on arrive à (aux erreurs de calcul près) :

a(1+x+x²)-(ax+b)(2x+1) + c(x²+x+1) = 1 + 0x + 0x²

Et là, par identification des coefficients de même puissance en x des 2 membres .

on trouve facilement a, b et c ...

En remplaçant alors a, b et c par leurs valeurs resprectives dans G(x) = (ax+b)/(1+x+x²) + c.F(x) et en remplaçant F(x) par son expression trouvée dans la pareie 1 de l'exercice, on a finalement G(x) qui est une primitive de g(x) = 1/(x²+x+1)², soit ce qui était demandé.

Refais tout l'exercice, en comprenant bien le but de chaque étape ...
Sinon tu perds ton temps.

:zen: