(Topologie) égalité entre l'adhérence de l'union et l'union

[mmestre]

Bonjour,

Je cherche à montrer l'égalité entre l'adhérence de l'union de deux parties, et l'union des adhérences de chacune des parties.

Je pense avoir trouvé une démonstration, mais j'ai des doutes sur sa validité (en particulier pour les manipulations d'intersections sur des familles quelconques). Même si elle est valide, je me demande si c'est la solution la plus simple.

Auriez-vous des commentaires ou des suggestions ?
Merci d'avance !


Voici ma démo :

Soient A et B deux parties d'un espace topologique (X,T).
On cherche à montrer que

On adopte les notations suivantes :

est la famille des fermés de X contenant A.

est la famille des fermés de X contenant B.

est la famille des fermés de X contenant .


1) Montrons

Soit .Montrons que .

Il faut montrer que .

Soit .
est un fermé qui contient . Il fait donc partie de la famille Q. Comme , on a automatiquement .


2) Montrons

Soit . On a donc .

Cela signifie que .

Soit , montrons que . Il faut écrire comme une union de deux fermés contenant A et B, respectivement.

C'est simple : est un fermé contenant A, d'une part, et B, d'autre part.

On peut donc écrire , où chacun des deux membres de l'union est un fermé contenant A et B, respectivement - c'est à dire que et de même .

Donc . CQFD.

[alavacommejetepousse]

bonjour

suggestion

de façon ensembliste en utilisant simplement que Abarre est le plus petit fermé contenant A

par exemple

A inclus ds Abarre idem pour B donc


AUB inclus dans Abarre U B barre qui est un fermé donc

AUB barre inclus dans A barre U B barre

l autre inclusion se fait sensiblement de la même façon

[Ben314]

C'est tout ce qu'il y a de plus correct, mais c'est quand même bien long...

Voilà ce que je proposerait :
On sait que l'adhérence d'une partie X est le plus petit fermé contenant X.

1) est un fermé (réunion fini de fermé) qui contient A (car ) et B (car ). C'est donc un fermé qui contient .
Comme est le plus petit fermé qui contient , on en déduit que .

2) est un fermé qui contient A donc il contient (car est le plus petit fermé qui contient A). Pour les mêmes raisons, il contient aussi et cela montre qu'il contient :

Edit : tu constateras que ce que je propose est... la même chose qu' alavacommejetepousse qui as tapé plus vite que moi...

[mmestre]

Merci à vous deux pour vos réponses très utiles qui vont dans le même sens.
Une petite question néanmoins concernant la clé de la démonstration (le plus petit ensemble contenant un autre ensemble).

Il paraît "logique" que, si on prend trois parties A,B,C et qu'on sait que :
-A c B
-A c C
-B est le plus petit ensemble contenant A

, alors B c C (si j'ai bien compris, c'est sur ce point que repose les deux sens de la démonstration)

Ça semble effectivement logique, mais quelle en est la justification rigoureuse ?

[Ben314]

Fait gaffe, l'adhérence de A, c'est le plus petit ensemble fermé qui contient A (le plus petit ensemble quelconque qui contient A ben... c'est évidement A lui même)

Ensuite, il est parfaitement rigoureux de dire que, si "machin" est le "plus petit qui..." et que "truc" est "un de ceux qui..." alors "machin" est inférieur à "truc" : c'est la définition même de "le plus petit qui..." !!!

Pour parler "carré", la phrase :
" est le plus petit fermé contenant A"
Veut trés exactement dire (définition) que,
"Si F est un fermé contenant A alors il contient "

[mmestre]

@Ben :
Oui, bonne remarque pour le fermé..

Quant au "plus petit que", je ne conteste pas que ce soit parfaitement rigoureux, mais je n'ai pas sous la main la définition du plus petit ensemble..

En cherchant un peu j'ai seulement trouvé ça :
http://www.mathhelpforum.com/math-help/discrete-mathematics-set-theory-logic/137395-propositional-logic-without-set-theory.html

L'intervenant affirme que "If any set X has the property such and such, then S is a subset of X."

Si j'ai bien compris, vous dites que qualifier une partie B de "plus petit ensemble contenant A vérifiant la propriété P" veut précisément dire que tout ensemble contenant A et vérifiant aussi P (par exemple, être fermé) contient aussi B.

Ça me satisfait en tant qu'argument d'autorité, mais je reste pensif quant à la définition.. les ensembles n'étant pas munis d'une relation d'ordre totale (qu'ils soient fermés ou pas).

[alavacommejetepousse]

pour préciser

le plus petit ensemble X qui vérifie une propriété (P) est en effet par définition un ensemble X vérifiant (P) tel que si Y vérifie (P) alors X C Y


il n 'y a pas d'ordre total en effet.


rien ne garantit a priori qu 'un tel ensemble existe

l'adhérence est (par définition ou caractérisation) un tel ensemble pour la propriété (P) être fermé et contenir A
car c'est l'intersection des fermés contenant A ( et est donc inclus ds tout fermé contenant A)

d'une façon générale le plus petit X vérifiant (P) sera l'intersection des Y vérifiant (P) à condition que l'intersection d'une famille d'ensembles vérifiant (P) vérifie encore (P)

[mmestre]

alavacommejetepousse, merci pour ces précisions !
Je retiendrai que ça marche pour les ensembles ouverts et fermés ; mais que rien ne garantit qu'une telle chose existe pour une propriété quelconque.

Bonne soirée à tout le monde,
M

[Doraki]

Pour les ouverts c'est dans l'autre sens que ça marche : le plus grand ouvert contenu dans ...
Le plus petit ouvert contenant [0;1], il existe pas

[mmestre]

Remarque intéressante Doraki.
Est-ce que certains ouvrages se donnent la peine de donner une démonstration de l'existence de ces plus petit (respectivement plus grand) fermé contenant (respectivement ouvert contenu dans) un ensemble ?

[Ben314]

Lorsque tu défini l'adhérence de A comme l'intersection des fermés contenant A puis que tu fait remarquer que, comme c'est une intersection de fermé, c'est lui même un fermé et ben... tu viens de terminer la preuve du fait que l'adhérence de A c'est le plus petit fermé contenant A...
(il est fermé, il contient A et il contient tout les autres fermés contenant A puisque c'est l'intersection de ces derniers)

Idem pour l'intérieur.

[mmestre]

Merci beaucoup Ben, c'est super !
Une intersection est contenue dans tous ses membres, et une union contient tous ses membres. J'aurais dû y penser..