Topologie dans R, adhérence, frontière ( ... )

par **goudou** » 09 Juin 2009, 14:35

Bonjour,
J'ai des difficultés avec l'adhérence et l'intérieur, et les points d'accumulations
Par exemple, pouvez vous me dire quelle est l'adhérence de {0}u]1,+inf[ ?
Et quel est l'ensemble de ses points d'accumulation ?

Parce que, l'adhérence revient "au plus petit fermé contenant l'ensemble", mais là, je sèche =/

par **ajl** » 09 Juin 2009, 15:04

Bonjour,

oui l'adhérence est le plus petit des fermés et la réunion de 2 fermés est un fermé. Donc {0} est un fermé puisque son complémentaire est un ouvert de R et le plus petit fermé contenant ]1,+inf[ est [1,+inf[

0 n'est pas un point d'accumulation. Tout point de l'intervalle ]1,+inf[ est un point d'accumulation. 1 et +inf sont aussi des points d'accumulation de l'ensemble.

On remarquera qu'ici l'ensemble des points d'accumulation contient l'adhérence.

par **Joker62** » 09 Juin 2009, 15:55

Généralement on précise la topologie avec laquelle on travaille parce que ça diffère desfois.

par **goudou** » 09 Juin 2009, 15:58

Donc l'adhérence de cet ensemble serait {0}u[1,+inf[ ?
Et l'ensemble des points d'accumulation serait ]1,+inf[ ?
Mais si j'ai bien compris cela, je ne comprends pas ta phrase "On remarquera qu'ici l'ensemble des points d'accumulation contient l'adhérence." =/

La question n'est pas posée dans l'énoncé, mais l'intérieur de mon ensemble n'existe pas, non? Car il s'agit du plus grand ouvert contenant l'ensemble, or {0} n'est pas ouvert ...

par **goudou** » 09 Juin 2009, 16:00

Joker, j'ai précisé dans le titre, il s'agit de la topologie dans R ;)

par **Arkhnor** » 09 Juin 2009, 16:10

Salut.

On a donc que l'adhérence de A est

(c'est bien un fermé contenant A, et on vérifie sans problème que c'est le plus petit), l'intérieur de A est

(c'est un ouvert contenu dans A, et c'est le plus grand).

L'ensemble des points d'accumulation de A est

.

1 et +inf sont aussi des points d'accumulation de l'ensemble.

Je ne suis pas d'accord, +inf n'est pas un point d'accumulation : il n'existe même pas puisqu'on travaille dans R (si on avait été dans R barre, ok, mais dans ce cas l'adhérence de A contiendrait elle aussi +inf)

par **goudou** » 09 Juin 2009, 16:17

Ah, je pensais que l'intérieur était le plus grand ouvert contenANT a, et pas contenU dans A ! C'est pour ça que j'avais dit qu'il n'y en avait pas ...
Par contre, exemple à part, N n'a pas d'intérieur, car n'a pas d'intervalle ouvert? Et l'adhérence de N, est N lui même ?

par **Arkhnor** » 09 Juin 2009, 16:21

En effet, N est un fermé, donc est sa propre adhérence, et il est d'intérieur vide.

Sinon, l'intérieur de A, c'est bien le plus grand ouvert contenu dans A (il faut qu'il soit dans A, d'où le nom d'intérieur).

par **Joker62** » 09 Juin 2009, 16:29

Si ça avait été "CONTENANT" alors on aurait pris R il est ouvert et il contient bien A.

Mise à part ça, tu précises rien du tout dans le titre.
Si je prend comme topologie dans R, la topologie discrète, alors ça change...

Ici, tu utilises celle que l'on utilise habituellement, c'est à dire celle qui provient de distance d(x,y) = |x-y|

par **goudou** » 09 Juin 2009, 16:29

C'est vrai que l'intérieur porte bien son nom, je retiendrais comme ça. Mais l'adhérence est bien le plus petit fermé contenant A ?
Je pense comprendre un peu mieux tout ça.

Et j'ai une question totalement à part, mais je ne me vois pas ouvrir un topic juste pour ça ... Quels sont les sous groupes de Z/6Z ?

par **Joker62** » 09 Juin 2009, 16:31

Pense au théorème de Lagrange...

par **Arkhnor** » 09 Juin 2009, 16:32

Oui, l'adhérence de A, c'est le plus petit fermé contenant A.

Je tiens à insister sur le fait qu'il existe plusieurs topologies sur R, et que l'on doit préciser de laquelle on parle. (ici , il s'agit de la topologie usuelle de R)

(peut-être qu'on ne t'en a pas parlé comme tu es en 1ère année ...)

par **goudou** » 09 Juin 2009, 16:33

Désolée Joker, dans les exos rien n'est précisé à propos de la topologie, il est juste dit qu'il s'agit de la "topologie usuelle de R", et comme je n'ai pas vu d'autres types de topologie, je ne savais pas ...

par **goudou** » 09 Juin 2009, 16:35

J'ai justement pensé au théorème de Lagrange.
Ord(Z/6Z)=2 (si je ne me suis pas trompée dans mes calculs).
Donc l'ordre possible des sous groupes doit diviser 2, soit 1 ou 2.
Jusque là c'est bon ?
Et donc les sous groupes possibles sont Z/2Z, et Z/3Z ?
Je ne suis pas sûre du tout !

par **Joker62** » 09 Juin 2009, 17:19

Z/6Z = {0;1;2;3;4;5}

Ord(Z/6Z) = 6
Les sous groupes auront donc comme ordre 1 ou 2 ou 3 ou 6

par **goudou** » 09 Juin 2009, 17:35

Pourquoi ord(Z/6Z)=6 ?
On ne doit pas faire la fonction d'Euler ?

par **goudou** » 10 Juin 2009, 20:39

Personne ??

par **Joker62** » 11 Juin 2009, 00:46

Phi(n) c'est le nombre d'entier premier avec n

Phi(6) = Card({1,5}) = 2
C'est le nombre d'inversible dans Z/6Z
L'ordre, dans le cas d'un groupe fini, c'est le cardinal du groupe.
Donc ici, c'est 6.

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