Bonjour,
Je cherche à montrer l'égalité entre l'adhérence de l'union de deux parties, et l'union des adhérences de chacune des parties.
Je pense avoir trouvé une démonstration, mais j'ai des doutes sur sa validité (en particulier pour les manipulations d'intersections sur des familles quelconques). Même si elle est valide, je me demande si c'est la solution la plus simple.
Auriez-vous des commentaires ou des suggestions ?
Merci d'avance !
Voici ma démo :
Soient A et B deux parties d'un espace topologique (X,T).
On cherche à montrer que
On adopte les notations suivantes :
est la famille des fermés de X contenant A.
est la famille des fermés de X contenant B.
est la famille des fermés de X contenant .
1) Montrons
Soit .Montrons que .
Il faut montrer que .
Soit .
est un fermé qui contient . Il fait donc partie de la famille Q. Comme , on a automatiquement .
2) Montrons
Soit . On a donc .
Cela signifie que .
Soit , montrons que . Il faut écrire comme une union de deux fermés contenant A et B, respectivement.
C'est simple : est un fermé contenant A, d'une part, et B, d'autre part.
On peut donc écrire , où chacun des deux membres de l'union est un fermé contenant A et B, respectivement - c'est à dire que et de même .
Donc . CQFD.