Racine d'un opérateur

[houda 20]

bonsoir
voilà un exercice ou je bloque vraiment, ça peut etre bete mais j'ai essayé et tjrs rien
voilà, je cherche la racine carré de la l'opérateur matrice
a 1

1 1/a

autrement dit je cherche une matrice A symétrique tel que (Ax,x) soit positif et
A²=la matrice précédemment défini.

j'ai essayé avec le fait que racine(a)*racine(1/a)=1 mais je ne me suis pas parvenue à grand chose
merci

[alavacommejetepousse]

bonsoir

pour avoir UNE solution il suffit de diagonaliser la matrice B donnée

B = PDP^(-1)

et de poser A = P D' P^(-1)

avec D' qui va bien

pour montrer que A est l'unique solution il faut voir que A et B ont nécessairement les mêmes sous espaces propres.

[houda 20]

oui, je vais essayé avec la diagonalisation
pour l'unicité, on a un th qi dit que tout opérateur défini positif admet une unique racine carré positive
je l'appliquerai directement
merci pour l'aide