Inverse d'un opérateur différentiel linéaire

[barbu23]

Bonjour SLA :
- Surjectivité de : :
Soit : :
Il s'agit d'établir l'existence de tel que : . Cela est vérifié d'après l'application du fameux théorème de Cauchy Lipschitz concernant les EDO.
- Injectivité de : :
Soit tel que : .
Cela signifie que : . C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants dont les solutions se mettent sous la forme : avec : .
Par conséquent : , non ? Donc, le noyau n'est pas trivial. Par conséquent, l'opérateur : n'est pas injective, c'est à dire, il n'est pas bijective. Par contre si on ajoute une condition initiale, il semble que l'opérateur devient bijective, c'est à dire, il faut se tourner à résoudre le système à deux équations : , non ? Est ce que je dis n'importe quoi ?

Merci d'avance. :happy3:

[SLA]

Bonjour SLA :
- Surjectivité de : :
Soit : :
Il s'agit d'établir l'existence de tel que : . Cela est vérifié d'après l'application du fameux théorème de Cauchy Lipschitz concernant les EDO.
- Injectivité de : :
Soit tel que : .
Cela signifie que : . C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants dont les solutions se mettent sous la forme : avec : .
Par conséquent : , non ? Donc, le noyau n'est pas trivial. Par conséquent, l'opérateur : n'est pas injective, c'est à dire, il n'est pas bijective. Par contre si on ajoute une condition initiale, il semble que l'opérateur devient bijective, c'est à dire, il faut se tourner à résoudre le système à deux équations : , non ? Est ce que je dis n'importe quoi ?

Merci d'avance. :happy3:

Oui! C'est pas faute de t'avoir demandé de faire ca plus tôt.
Note au passage que Cauchy-Lipschitz permet de résoudre des problèmes de Cauchy, pas juste des EDO (il faut une conditions initiale).
Bref ton application n'est pas injective, donc encore moins surjective. Impossible de trouver un inverse, il n'y en a pas.
Cordialement

Édit: c'est "encore moins bijective" qu'il faut lire.

[barbu23]

Bref ton application n'est pas injective, donc encore moins surjective. Impossible de trouver un inverse, il n'y en a pas.

Merci de m'avoir répondu.
Tu sembles affirmer que l'application en question n'est pas injective donc, n'est pas surjective. Peux tu m'expliquer quelle propriété ou théorème tu appliques là ? Une version du théorème du rang en dimension infinie ? Je n'ai aucune connaissance en théorie de Fredholm malheureusement.

Merci d'avance.

[SLA]

Merci de m'avoir répondu.
Tu sembles affirmer que l'application en question n'est pas injective donc, n'est pas surjective. Peux tu m'expliquer quelle propriété ou théorème tu appliques là ? Une version du théorème du rang en dimension infinie ? Je n'ai aucune connaissance en théorie de Fredholm malheureusement.

Merci d'avance.

Pardon, c'est une erreur "de frappe". Tu as toi même prouvé qu'elle est surjective.

[barbu23]

Bonsoir à tous, :happy3:

J'aimerais savoir comment agissent l'opérateur de conjugaison réelle : avec : , et l'opérateur de conjugaison complexe : avec : , avec l'opérateur de différentiation : qui n'est autre que : .
Autrement dit, est ce que : et ?

Merci d'avance. :happy3:

[SLA]

Bonsoir à tous, :happy3:

J'aimerais savoir comment agissent l'opérateur de conjugaison réelle : avec : , et l'opérateur de conjugaison complexe : avec : , avec l'opérateur de différentiation : qui n'est autre que : .
Autrement dit, est ce que : et ?

Merci d'avance. :happy3:

Salut,
Outre le fait que tu sais calculer des trucs aussi simples, depuis quand C est il un C espace vectoriel de dimension 2?
Quelle est l'image par ta "conjugaison complexe" de 1?

[barbu23]

Salut,
Outre le fait que tu sais calculer des trucs aussi simples, depuis quand C est il un C espace vectoriel de dimension 2?
Quelle est l'image par ta "conjugaison complexe" de 1?

Bonsoir SLA :
Non, je me place dans un module de type finie mais pas libre. Est ce possible ?. Le calcul l'oblige dans ce que je fais. Donc, je définie : comme ça ? Je ne sais pas si c'est cohérent, ou peux être que je ne comprends pas ta question.
dans . c'est cohérent ou non ?
Merci d'avance. :happy3:

[SLA]

Bonsoir SLA :
Non, je me place dans un module de type finie mais pas libre. Est ce possible ?. Le calcul l'oblige dans ce que je fais. Donc, je définie : comme ça ? Je ne sais pas si c'est cohérent, ou peux être que je ne comprends pas ta question.
dans . c'est cohérent ou non ?
Merci d'avance. :happy3:

Je cherche juste a te montrer que ça n'a pas de sens: que vaut ?

[barbu23]

En réalité, le problème est un peu différent tel qu'il est présenté sur ce fil. En fait, est muni d'une structure de module de type finie, et non libre, la famille génératrice, c'est : , et donc, est surjective, c'est à cause du fait que la famille n'est pas libre, il n'y'a pas unicité d'un élément de dans cette décomposition. Donc, je munis d'une structure de - module de type finie, non libre.

[barbu23]

Je cherche juste a te montrer que ça n'a pas de sens: que vaut ?

.

[SLA]

.

Ha? Et ?

[barbu23]

Ha? Et ?

, non ?.

[Doraki]

j'crois qu'il voulait plutôt que tu prennes z1=0 et z2= -i

[barbu23]

j'crois qu'il voulait plutôt que tu prennes z1=0 et z2= -i

, ben, ça s'arrête là, dans ce cas là. On peut pas développer plus que ça, il me semble.

[barbu23]

Excusez moi, je voulais considérer : , c'est juste un petit lapsus. :happy3:

Edit : Je pense que ça ne pose aucun problème quant à la cohérence de la définition que j'ai donné de lorsque je change par .

[SLA]

Excusez moi, je voulais considérer : , c'est juste un petit lapsus. :happy3:

Edit : Je pense que ça ne pose aucun problème quant à la cohérence de la définition que j'ai donné de lorsque je change par .

Et comment on calcule ça?

[barbu23]

Et comment on calcule ça?

Tu veux dire qu'il n'y'a pas cohérence dans cette formule que j'ai donnée ?.
Voiçi ce que j'ai répondu :
, non ?.
Peux tu être précis ?, car je ne vois pas le problème du tout. :hum: