Problème Polynôme

[scr92]

Bonjour je bloque sur une question d'un problème de maths. Voici l'énoncé :

Soient : p un nombre premier

P le polynôme de degré





J'ai déjà établit que

Je dois maintenant montrer que pour tout entier naturel k tel que , le polynôme est à coefficients entiers divisibles par p.

J'ai commencé par poser , avec et .

Ensuite, en dérivant p-1 fois F, on a .

D'après la formule de Leibniz, on a donc .

Mais après je sais pas comment faire pour répondre à la question et je sais même pas si mon idée de départ est bonne. Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[Matt_01]

Ta formule de Leibniz est fausse (il faut corriger quelque chose, tu vois bien que ca ne dépend même pas de k).
En corrigeant cette formule, essaye d'exprimer (si tu ne sais déjà le faire) les coefficients de P^(p) en fonction des P^(p+i)(0) (car il suffit de montrer la divisibilité pour k=p, vu que c'est stable par passage à la dérivée).