Polynome Probleme Bizarre

[EinsteinE=mc2]

Bonsoir j'ai un réel souci avec cet exo je ne comprend pas comment déterminer le reste de la division dans R[X] Toute aide sera la bienvenu:

Enoncé:

Pour n appartenant à N determiner le reste de la division de A par B dans R[X]


A(X)= Xpuissance n + X - 1 B(X)= ( X+1) au carrée


Merci d'avance pour l' aide je vous en serais très reconnaissant .

[Joker62]

Hello

Quel est le degré possible pour le reste ?

[EinsteinE=mc2]

je sais pas .. :cry: deja sa me semble bizar pour n =0 A = X et son degré est inférieur a celui de B donc je ne vois pas comment on peut le diviser pour n =1 aussi c'est pareill

[Joker62]

Pour n = 0

A(X) = X
B(X) = (X+1)^2

A(X) = B(X)*0 + X

Le reste est X

Pour n = 1

A(X) = 2X - 1
B(X) = (X+1)^2

A(X) = (X+1)^2*0 + 2X-1

Le reste est 2X-1

Pour n =2

A(X) = X^2 + X - 1
B(X) = (X+1)^2

A(X) = B(X)*1 + (-X-2)

Le reste est -X-2

Dans la définition de la division Euclidienne de polynômes, tu dois avoir une condition sur le degré du reste. Ça réduira grandement la forme de ce dernier.

[EinsteinE=mc2]

OKé mercii pour lindication joker 62 mais pour l'instant on a effectuer la division que dans des cas particulier pour généraliser comment fait -on ? A partir de n > 2 ?

[Joker62]

Relis ton théorème :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_d'un_polynôme

Il y a écrit clairement deg R < deg B

Quels sont les degrés possibles pour R ?

[EinsteinE=mc2]

Le degré de R doit être strictement inférieur a celui de B donc notre B ici c'est (X+1) au carré = X au carrée + 2X + 1 donc deg R < 2 soit 1 OU 0 c'est sa ?

[EinsteinE=mc2]

helpppp :triste: :triste: :triste:

[Joker62]

Yeap !

Donc R(X) = aX + b

Reste plus qu'à trouver a et b !
C'est déjà bien :)

R(X) = A(X) - B(X)*Q(X)

Trouves deux bonnes valeurs à donner à X pour avoir un système.

[EinsteinE=mc2]

alors moi j'ai dis que A(X)= (X+1) au carré * Q(X) + aX+b (ce qui revient au même )
Du coup pour A(-1)=-a+b= (-1) puissance n - 2
En dérivant on aura A'(X) = nX puissance n-1 + 1 = B'(X) * Q'(X) + a
-1 aussi racine de B'(X) donc A'(-1)= a = n * (-1) puissance n-1 + 1

Donc la on a notre systeme
a= n*(-1) puissance n-1
b= (-1) puissance n - 2 + a

Le probleme c'st que selon que n soit pair au impaire les solutions seront différentes !! Je vois pas comment choisir ..

[chan79]

alors moi j'ai dis que A(X)= (X+1) au carré * Q(X) + aX+b (ce qui revient au même )
Du coup pour A(-1)=-a+b= (-1) puissance n - 2
En dérivant on aura A'(X) = nX puissance n-1 + 1 = B'(X) * Q'(X) + a
-1 aussi racine de B'(X) donc A'(-1)= a = n * (-1) puissance n-1 + 1

Donc la on a notre systeme
a= n*(-1) puissance n-1
b= (-1) puissance n - 2 + a

Le probleme c'st que selon que n soit pair au impaire les solutions seront différentes !! Je vois pas comment choisir ..

Salut
Envisage les deux cas:
si n est pair
n=2p


avec x=-1, tu as -1=-a+b

Ensuite, dérive et remplace x par -1

Ensuite vois le cas n=2p+1

[EinsteinE=mc2]

humm merci de m'avoir rep chan 79 mais je vois pas trop comment faire.. :/

[EinsteinE=mc2]

ok si je dérive , j'aurai A'(X) = 2p * X^ (2p-1) + 1
A'(-1)= -2p +1 = a or d'aprés la premiere equation on avait -a + b = -1
b= -2p

R= aX + b = (-2p+1) X + (-2p)


pour n = 2p+ 1
A(-1)= -a+b= -3
A'(X)= ( 2p+1) * X^ 2p + 1
A'(-1)= a = 2p+2 or d'aprés la premiere equation on avait -a +b= -3
b= 2p -1


R= (2p+2) X+ 2p-1

EST-ce que mes résultats sont bons ???????

[chan79]

humm merci de m'avoir rep chan 79 mais je vois pas trop comment faire.. :/

pour le cas n=2p, en dérivant



pour x=-1

-2p+1=a

puis, comme -1=-a+b tu as b=-2p

Finalement, si n=2p le reste est (-2p+1)x-2p ou (-n+1)x-n

Tu procèdes de façon analogue si n=2p+1

Edit: entre temps, tu as mis tes résultats qui sont bons !!!

[EinsteinE=mc2]

OK c'est cool merci beaucoup Chan , si sa te dérange il ya une deuxieme qestion du même genre mais un peu plu compliquer je pense ..

A(X) = (X+1)^{n} - X^{n} - 1
B(X)= X^{2} + X + 1

Je dois encore trouver le reste , le probléme c'est que B n'admet pas de racine réelle et sa racine complexe est assez compliqué ..

Merci d'avance pour ton aide

[EinsteinE=mc2]

Si quelqu'un à une idée qu'il n'hésit pas toute aide sera la bien venu :) :help: :help:

[EinsteinE=mc2]

:cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

[Joker62]

Ne sont pas compliquées ses racines.

Ce sont les racines troisième de l'unité sauf 1.

[EinsteinE=mc2]

Comment sa les racines troisième de l'unité ?! comme racine pour B(X) j'ai trouver racine de 3 sur 2 multiplier par i + 1/2 mais bon si j'utilise la même méthode que précedemment c'est super long ...

[Joker62]

Les racines sont donc et