Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

[thoralf8weblen]

Bonsoir à tous,

Je rencontre un problème sur l'exercice suivant:

On note pour tout n appartenant à N*: Pn = X^2^n + X^2^(n-1) + 1 appartenant à R[X]
Montrer pour tout (n, m) appartenant à N*^2, n inférieure ou égale à m ==> Pn divise Pm.


J'ai traité le cas n = m. Dans ce cas Pn est égal à Pm. Donc Pn divise Pm.

C'est le cas n < m qui me pose problème. Je dois montrer que Pm = PnQ mais je n'arrive pas à faire cela. Je pense qu'il y a une astuce que je ne vois pas. Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Peux-tu démontrer que divise ?
Après, tu pourras chercher le bon et le bon .

[thoralf8weblen]

Comment as-tu eu l'idée de faire cela ? Je vois que tu pars d'une valeur "simple" à calculer n = 1. Mais pourquoi X^2^(k+1) ?

Je pose la division:
X^2^(k+1) + X^2^k + 1 = (X^2 + X + 1)Q

Je crois que je suis gêné par les puissances de puissance. Je vois bien qu'il faut que le plus grand exposant de Q soit 2^(k+1).
Naïvement, j'ai fait:

X^2^(k+1) = X^(2k+2) selon la règle (A^b)^c = A^bc. Mais quand je pose mon équation ainsi, ça ne va pas...

[GaBuZoMeu]

L'idée de voir ce qui se passe pour n=1 me semble assez naturelle. Non, pas pour toi ?

Pense aux racines ! C'est quoi, les racines de ?

Tu te mélanges grave les pinceaux entre et , j'ai l'impression.

[thoralf8weblen]

Oui, tout à fait d'accord mais je manque de visibilité, c'est pour ça que je posais cette question. Ca ne me dit pas pourquoi tu as choisi X^2^(k+1).

Les racines x, y sont x = (-1 + i )/2 et y = (-1 - i )/2).

Oui ce n'est pas qu'une impression. Je ne vois pas comment traiter X^2^k...

[thoralf8weblen]

Ce que j'ai fait:

J'ai dégagé les deux racines comme indiqué ci-dessus.
Si est une racine de P alors X - divise P.
Or les deux racines divisent à la fois et X^2^(k+1) + . Donc on peut réécrire les deux polynômes sous la forme deux polynômes scindés. On peut diviser par (X - (-1 + i)/2) ou par (X - (-1 -i)/2). Donc divise X^2^(k+1) .

Qu'en penses-tu ?

[GaBuZoMeu]

J'en pense que pour le moment je ne vois pas de démonstration du fait que et (connais-tu ces notations ?) sont des racines de .

Erreur de vocabulaire : " les deux racines divisent ...".

[thoralf8weblen]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par et sont des racines du polynôme y^2^(k+1) + y^2^k + 1.
Les deux racines que j'ai indiquées sont bien des racines de y^2^(k+1) + y^2^k + 1, non ?

[GaBuZoMeu]

Je suis bien d'accord, mais tu ne donnes aucune démonstration de ce fait. Il ne suffit pas d'affirmer en mathématiques. Il faut démontrer.
Je t'ai demandé si tu connais la notation . Peux-tu répondre ?

[thoralf8weblen]

Je suis tout à fait d'accord avec toi mais je prétends en avoir donner une démonstration. J'ai écrit que et sont racines de . Par conséquent peut s'écrire comme . Donc
y^2^(k+1) + y^2^k + 1 = Q
Or si on prend la valeur ou pour X, on aura:
y^2^(k+1) + y^2^k + 1 = 0
Donc et sont des racines de y^2^(k+1) + y^2^k + 1. Ce qui signifie que ce polynôme peut se décomposer en produit de polynômes: . Je ne sais pas combien il y a de racines, mais cela ne me semble pas très important pour la suite.
On peut donc diviser y^2^(k+1) + y^2^k + 1 par

Ma démonstration est peut-être fausse mais il s'agit bien d'une démonstration.
Visiblement, il y a quelque chose qui te gêne là-dedans, je peine à le comprendre.

Hum, non cela ne me dit rien. Je t'avoue que je ne vois pas pourquoi tu penses à cela...

[GaBuZoMeu]

Donc
y^2^(k+1) + y^2^k + 1 = Q
Or si on prend la valeur ou pour X, on aura:
y^2^(k+1) + y^2^k + 1 = 0
Donc et sont des racines de y^2^(k+1) + y^2^k + 1.

Je ne vois AUCUNE DÉMONSTRATION, uniquement des affirmations sans aucun argument probant. Pourquoi est-ce que
???
Il est bien entendu que je sais pourquoi. Et il n'y a dans ce que tu écris par le moindre début de commencement de ce pourquoi.

Penses-tu avoir démontré quelque part que divise ? Je n'en vois absolument aucune trace.

[thoralf8weblen]

Si je comprends bien, dire que les racines qui annulent sont également des racines de X^2^(k+1) + X^k + 1, ce n'est pas viable comme raisonnement. Dans ce cas, je ne vois pas comment réaliser une démonstration de cela.

Si tu sais pourquoi, pourrais-tu peut-être m'aider ? Là, je pense que tourne en rond sans progresser sur mon problème de départ...
Je n'attends pas la réponse à mon problème. La réponse ne m'intéresse pas si je ne comprends pas le raisonnement qui amène à cette réponse. Je cherche à comprendre comment on arrive à la solution. Pour le moment, je ne vois rien de cela. Ce n'est pas faute de faire des efforts.

[GaBuZoMeu]

Si je comprends bien, dire que les racines qui annulent sont également des racines de X^2^(k+1) + X^k + 1, ce n'est pas viable comme raisonnement. .

Bien sûr que si. Mais tu n'as jamais donné d'argument pour justifier


Pourquoi t'obstines-tu à ne pas comprendre que c'est ce qui manque ?

Indication : pour démontrer que est racine de , il peut être utile de réaliser que le nombre complexe est une racine cubique de l'unité, qu'on note habituellement . Je suis assez étonné que tu n'aies jamais vu cette notation au cours de ton cursus.

[thoralf8weblen]

Pourquoi ^2^(k+1) + + 1 = 0 ?
Car la décomposition de est
Quand on prend , = 0.
Comme X^2^(k+1) + X^2^k + 1 =
Avec X = , X^2^(k+1) + X^2^k + 1 = 0.

Voilà mon raisonnement.

[GaBuZoMeu]

Comme X^2^(k+1) + X^2^k + 1 =

Pourquoi ?

[thoralf8weblen]

Non je n'ai jamais vu cette notation. Je connais Un = {exp(2k)/n), k appartenant à Z}

[thoralf8weblen]

Parce que

[GaBuZoMeu]

Parce que

Et pourquoi est-ce que ça entraînerait que ??
N'utiliserais tu pas que divise , ce qui est justement ce que tu veux démontrer ?

[thoralf8weblen]

Asse naïvement peut-être, je te répondrai qu'il s'agit simplement de remplacer par la décomposition correspondante.
Hum... Je suis bien parti de la division X^2^(k+1) + X^k + 1 = Mon erreur semble bien venir de là...

[GaBuZoMeu]

Ouf ! Je pense que tu as compris maintenant pourquoi tu n'as fait aucune démonstration jusqu'à présent. Alors je répète mon

Indication : pour démontrer que est racine de , il peut être utile de réaliser que le nombre complexe est une racine cubique de l'unité.