Polynome Probleme Bizarre

[chan79]

Il y a sans doute mieux mais tu peux réfléchir à ça:
j et j² sont les racines cubiques de 1 différentes de 1 (on sait 1+j+j²=0)
Suppose que n soit de la forme 6m






donc est divisible par

le reste de la division de par est donc -1

Il reste à étudier les cas où n est de la forme 6m+1, 6m+2, 6m+3, 6m+4 et 6m+5

pour 6m+1 tu dois avoir le reste 0
pour 6m+2 tu dois avoir le reste 2x
pour 6m+3 tu dois avoir le reste -3
pour 6m+4 tu dois avoir le reste -2x-2
pour 6m+5 tu dois avoir le reste 0

[Doraki]

(X²+X+1)*(X-1) =X^3-1.

Donc commence par faire la division euclidienne de ton polynôme par X^3-1 (ce qui est plutôt facile grâce à la forme de X^3-1),
pour obtenir deux polynômes Q et R tels que A(X) = (X^3-1)*Q(X) + R(X) où R est de degré < 3.

Ensuite fais la division euclidienne de R(X) par (X²+X+1) (ce qui est plutôt facile puisque le degré de R est < 3), pour obtenir S et T tels que R(X) = (X²+X+1)S(X) + T(X) où T est de degré < 2.

En combinant les deux tu obtiens donc A(X) = (X²+X+1)*((X-1)Q(X)+S(X)) + T(X) où T est de degré < 2, donc T est le reste de A dans la division euclidienne par (X²+X+1)

[EinsteinE=mc2]

Tout d'abord merci à tous pour vos réponses , cependant si quelqu'un pourrait m'expliquer le raisonnement parce que la j'avou que je suis perdu :triste: Doraki d'ou vient le X^3 -1 ? pourquoi a t-on multiplier B par X -1 ?

[Joker62]

Parce que (X^3-1)/(X-1) = 1 + X + X^2

[Doraki]

Parceque c'est 1000 fois plus facile de calculer le reste d'une division par x^3-1 que le reste d'une division par X²+X+1

[EinsteinE=mc2]

Trés bien c ok ! Mais pk vous avez tous vu sa et pas moi ?!!! :o
(X^3-1)/(X-1) = 1 + X + X^2 pourquoi on ne divise pas le polynome par (X^3-1)/(X-1)et seulement par X^3 -1 ? De plus étant donnée qu'il y a des n je sais pas comment m'y prendre pour la division

[Joker62]

Parce que 1 + X + X^2 c'est la somme des trois premiers termes d'une suite géométrique de raison X.

Et que c'est connu :)

[EinsteinE=mc2]

s'il vous plait je veut comprend pourquoi on raisonne de tel manière ou d'une autre c'est important pour moii ...

[Joker62]

Relis le message de Doraki.

Il est clair comme de l'eau de Roche :)

[EinsteinE=mc2]

Yep c'est effectivement trés clairrr !
Mais j'arrive pas à effectuer la division de (X+1)^n -X^n - 1 par X^3- 1
Cela va dépêndre du paramétre n encore non?

[EinsteinE=mc2]

Franchement j'arrive au bout de l'exo si vous pouviez mdonner quelques coup de pouce se serai cool

[Doraki]

Mais j'arrive pas à effectuer la division de (X+1)^n -X^n - 1 par X^3- 1
Cela va dépêndre du paramétre n encore non?

ben oui t'as un truc qui dépend de n donc le résultat va très probablement dépendre de n.
Et effectivement le (X+1)^n est assez gênant, je l'avais pas vu.

Le reste de (X+1)^6 dans la division par X^3-1 est 1 + 21(1+X+X²), du coup son reste dans la division par (1+X+X²) est 1.
. Avec ça tu peux te ramener à un polynôme de degré < 6, et comme le disait chan79, tu vas devoir discuter selon la valeur de n modulo 6 (faire 6 cas : le cas n = 6k, le cas n = 6k+1, ..., le cas n = 6k+5).

Si tu connais bien les racines de l'unité, si j est une racine de X²+X+1 alors j est une racine cubique de 1 (j est racine de X^3-1), et j+1 est une racine 6ème de 1 (j est racine de (X+1)^6-1), ce qui explique pourquoi on a ce miracle pour (X+1)^6. (enfin c'est juste une autre manière de tourner le calcul)

[EinsteinE=mc2]

Donc si je comprend bien je fais une premiere division entre (X+1)^6 et X^3-1 je dois développer (X+1)^6 avec le binome de newton? et le reste sera 1 + 21(1+X+X²)
je comprend pas on ne prend pas tt lexpression de A et on divise seulement par X^3-1 et nn par X^3-1/ (X-1)

Ensuite je divise 1+ 21(1+X+X²) et jobtiendrai comme reste 1 .

Ensuite je ne comprend plus l'histoire de racine de l'unité ect .. :/

ben oui t'as un truc qui dépend de n donc le résultat va très probablement dépendre de n.
Et effectivement le (X+1)^n est assez gênant, je l'avais pas vu.

Le reste de (X+1)^6 dans la division par X^3-1 est 1 + 21(1+X+X²), du coup son reste dans la division par (1+X+X²) est 1.
. Avec ça tu peux te ramener à un polynôme de degré < 6, et comme le disait chan79, tu vas devoir discuter selon la valeur de n modulo 6 (faire 6 cas : le cas n = 6k, le cas n = 6k+1, ..., le cas n = 6k+5).

Si tu connais bien les racines de l'unité, si j est une racine de X²+X+1 alors j est une racine cubique de 1 (j est racine de X^3-1), et j+1 est une racine 6ème de 1 (j est racine de (X+1)^6-1), ce qui explique pourquoi on a ce miracle pour (X+1)^6. (enfin c'est juste une autre manière de tourner le calcul)