Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

[mathelot]

on a: pour m,n entiers naturels

(i) On va démontrer cette formule. Peux tu faire les calculs , @thoralf8weblen ?

(ii) Montrer que

(iii) Montrer que divise si

rappel de cours:

pour x réel, m et n entiers naturels

[thoralf8weblen]

Je conclus la 1ère étape:


en résumé, quelque soit k entier naturel, j est racine de
Comme le polynôme est à coefficients réels, et que est le conjugué de j

alors si j est racine de , son conjugué est également racine de
d'où
comme et sont premiers entre eux,
divise

Je comprends la démarche sauf lorsque tu affirmes que et sont premiers entre eux. Je ne vois pas comment tu peux affirmer cela ni pourquoi tu as besoin d'affirmer cela.
Je serai tenté de dire que et sont deux racines de et alors divise .

[mathelot]

On utilise le théorème de Gauss:

si X-a et X-b divisent P et si X-a et X-b sont premiers entre eux,
alors (X-a)(X-b) divise P.

X-a divise P donc P s'écrit P(X)=(X-a)Q(X)
X-b divise P et X-b premier avec X-a alors X-b divise Q(X) (théorème de Gauss)
donc Q s'écrit Q(X)=(X-b)Q_1(X) d'où P(X)=(X-a)(X-b)Q_1(X)

Il n'aurait pas fallu que X-a et X-b aient un facteur commun non constant.

[thoralf8weblen]

(i) On va démontrer cette formule. Peux tu faire les calculs , @thoralf8weblen ?

Bien sûr !

(ii) Montrer que

(Y^2^k)(Y^2)^2^k+ Y^2^k
= Y^(2*2^k) + Y^2^k + 1
= Y^2^k+1 + Y^2^k + 1

(iii) Montrer que divise si

Je réfléchis...

[mathelot]

(ii) Montrer que

j'ai rajouté des accolades

d'autre part on a:

[thoralf8weblen]

d'autre part on a:
Y^(2^(k+1))=(Y^(2^k))^2

Je ne vois pas pourquoi tu fais ce rappel. Je pense que tu veux m'indiquer quelque chose mais je ne vois pas. Serait-ce en lien avec mon calcul précédent ? Il me semble correct.

[mathelot]

on a: pour m,n entiers naturels

à démontrer!

[mathelot]

d'autre part on a:
Y^(2^(k+1))=(Y^(2^k))^2

Je ne vois pas pourquoi tu fais ce rappel. Je pense que tu veux m'indiquer quelque chose mais je ne vois pas. Serait-ce en lien avec mon calcul précédent ? Il me semble correct.

Tous les polynômes T_n ont une structure avec

On a:

[mathelot]

Soient m et n deux entiers naturels.
On suppose
Montrons que divise



divise

divise

divise

[thoralf8weblen]

Soient m et n deux entiers naturels.
On suppose
Montrons que divise



divise

divise

divise

J'ai du mal à comprendre ce que tu fais ici. Je pense que je ne comprends pas ce qui se passe au niveau des indices. Mon problème de compréhension vient de cette formule (Y^2^k)

J'ai repris ce que tu as fait de mon côté. Pour montrer que (Y^2^m) divise (Y^2^m), j'ai cherché à voir ce que valait ce polynôme. J'ai l'impression qu'il s'agit seulement d'un changement de lettre (m à la place de k).
Pour Y^2^m, je trouve (Y^2^m)^2 + Y^2^m + 1.

Qu'est-ce qui change entre l'indice 0 et l'indice n-m ?

[Vassillia]

Bonsoir

Suite à la judicieuse proposition de GaBuZoMeu, il me semble que vous avez démontré après une lutte acharnée que divise , cette formule est valable pour tout par exemple et pour tout par exemple

Pourquoi avoir choisi et ?

Et bien comme vu précédemment (pardon pour la formulation peu mathématiques) l'indice en puissance va descendre pour faire disparaitre le dans et enfin nous donner le résultat attendu.
Plus rigoureusement, j'utilise

[GaBuZoMeu]

Je dirais plutôt et , en référence à l'énoncé et à mon premier message.

[Vassillia]

Exact, j'avais répondu par rapport au message de mathelot.
Après une cinquantaine de messages, revenir à la question initiale est pertinent

[mathelot]

Soient m et n deux entiers naturels.
On suppose
Montrons que divise

divise

En effet, divise
donc, en changeant d'indéterminée
divise

divise .

ok , avec

@thoralf8weblen

Pour te repérer dans les indices et exposants, tu peux procéder ainsi:


commence par écrire la variable du polynôme:
On fait agir T_m :
on ajoute son carré
qui est obtenu en incrémentant de 1 l'exposant externe
il vient:

[thoralf8weblen]

En effet, divise

Cela me pose déjà problème. J'ai donc essayé de comprendre pourquoi divise .
On a démontré que divise . De plus les polynômes sont de la forme avec
Donc divise car divise tous les polynômes de la forme . Est-ce bien cela ?

Si cela est correct, alors je comprends qu'il suffit juste de changer l'indéterminée pour avoir: divise .
Sans problème

Il suffit simplement de changer la valeur de k et de l'indéterminée pour démontrer que

[mathelot]

En effet, divise

Cela me pose déjà problème. J'ai donc essayé de comprendre pourquoi divise .

C'est ce que l'on a démontré avec les exposants modulo 3.
T_0 divise T_n pour tout entier n.

Donc divise car divise tous les polynômes de la forme . Est-ce bien cela ?

ne divise pas
Si cela est correct, alors je comprends qu'il suffit juste de changer l'indéterminée pour avoir: divise .
Sans problème

Il suffit simplement de changer la valeur de k et de l'indéterminée pour démontrer que

oui

[thoralf8weblen]

En effet, divise

Cela me pose déjà problème. J'ai donc essayé de comprendre pourquoi divise .
On a démontré que divise . De plus les polynômes sont de la forme avec
Donc divise car divise tous les polynômes de la forme . Est-ce bien cela ?

Est-ce que ce raisonnement est correct du coup ?

C'est ce que l'on a démontré avec les exposants modulo 3.

Justement, c'est cela que j'ai essayé de réemployer dans mon message précédent...

[GaBuZoMeu]

C'est vraiment interminable, ce fil !

On a vu que pour tout entier , divise .
Soient des entiers tels que . Alors, en prenant , on en déduit que divise .
En faisant le changement de variable , on en déduit que divise .
À titre d'exemple de calcul sur les puissances, .
Et basta !

[thoralf8weblen]

Oui, tout à fait d'accord mais je manque de visibilité, c'est pour ça que je posais cette question. Ca ne me dit pas pourquoi tu as choisi X^2^(k+1).

Comme l'atteste cette citation présent dans les premiers messages, je t'ai demandé des éclairements que tu ne m'as jamais donnés. Ce n'est pas tes rares indications qui m'ont permis de comprendre la solution à cet exercice. Tu avais la solution dès le départ. Je ne comprends pas l'intérêt d'attendre plus de cinquante messages pour finalement se plaindre de la longueur de ce fil. Je pense avoir démontré mon implication. Je n'attends pas qu'on me donne la réponse. Cela ne m'intéresse pas. Je suis pugnace. Je n'abandonne jamais.

Alors oui, basta. Mais la prochaine fois, si c'est pour agir ainsi, je pense que tu pourras t'abstenir.

[GaBuZoMeu]

Il a fallu que j'insiste beaucoup et patiemment pour que tu comprennes enfin comment il fallait démontrer que divise .
Après Mathelot a pris la main, et je l'ai laissé faire ... pas forcément de la façon dont j'aurais procédé.
Je t'avais suggéré dès le début le changement de variable pour passer du cas particulier au cas général. Vassilia a été explicite quelques messages plus haut, et pourtant il me semble que ça continuait à patauger. C'est pourquoi j'ai jugé utile de mettre les points sur les i.
Bon, rien de grave. Si tu as finalement pu progresser dans ta compréhension c'est une bonne chose, et j'espère que tout est clair pour toi maintenant.