Polynômes - opérateur de différence

[samy02]

Bonsoir,
Besoin d'aide pour l'exercice suivant:
Soit Δ la fonction sur R[X] tel que Δ(P) = P(X+1) - P(X) pour tout polynôme P.
Après avoir montrer que Δ est linéaire et déterminer KerΔ , comment trouver P de R[X] tel que Δ(P) = Q ? (Q ϵ R[X])
Et déterminer P pour Q = X² tel que P(1) = 0.

Merci

[aviateur]

Bonjour
Si on considère la famille de polynômes



C'est clairement une base de ....et elle vérifie la propriété


Il suffit alors d'écrire Q dans cette base pour obtenir P.

[Ben314]

Salut,

C'est clairement une base de ....
...Il suffit alors d'écrire Q dans cette base pour obtenir P.

Perso, si l'objectif c'est juste d'obtenir une base permettant facilement de trouver un antécédent P par d'un polynôme Q donné (sans se préoccuper de savoir si ça va être facile ou pas de déterminer l'expression de Q dans cette base), alors ça me semble quand même on ne peut plus simple (et surtout bien plus naturel) de prendre directement vu qu'il est tout aussi "évident" que c'est une base (les degrés respectifs sont 0,1,2,...)

[aviateur]

Bonjour
@Ben, je ne suis pas trop d'accord avec ta remarque car je ne vois pas en quoi tu contournes la difficulté d'écrire Q dans la base que j'ai donnée.
Certes va constituer une base mais je ne vois pas un moyen simple de calculer Q dans cette base.
Par contre la base a des zéros clairement identifiés qui sont des entiers consécutifs. On peut même la modifier en translatant les zéros. Je n'ai pas fait les calculs mais grâce aux zéros des , on doit pouvoir (à partir d'un polynôme Q donné) trouver ses coordonnées en résolvant un système triangulaire.

[Ben314]

...on doit pouvoir (à partir d'un polynôme Q donné) trouver ses coordonnées en résolvant un système triangulaire.

bof bof bof...
Dés que tu as une base K[X] formé de polynômes de degrés distincts (n'importe laquelle), ben ça signifie bien évidement que le système à résoudre pour écrire un polynôme Q (donné sous forme développé) dans cette base là, il sera triangulaire.
Donc pour le moment, le moins qu'on puisse dire, c'est que ça me semble pas foudroyant comme argument...

[aviateur]

Salut @ben314. Il y a système triangulaire et système triangulaire.
Celui que je propose est facilement inversible.
Pour les besoins de la cause, je vais translater les zéros de la base (et je décale aussi la numérotation en commençant par 0) de façon à avoir une formule plus "carrée" .
Soit donc et

(on a toujours
Soit Q un polynôme de degré n , il s'exprime sous la forme

Puisque pour tout on
a on
à la formule
()
Ainsi en remarquant que je peux calculer directement

[aviateur]

Par exemple avec
J'obtiens
D'où les solutions de données par

Soit dans la base canonique :