Polynôme cyclotomique

[Ncdk]

Bonsoir,

Je voulais m’entraîner sur cet exercice, je bloque juste à la question e)



J'avais pensé à faire la méthode bourrin c'est-à-dire de calculer le 18ème polynôme cyclotomique, mais c'est un peu suicidaire. Que pensez-vous si je reviens à la définition des deux polynômes égaux et que je montre que c'est les mêmes racines, c'est finit car unitaire de degrés 6 tous les deux ?

Mais bon, ça reste quand même assez long à vérifier, y a plus rapide ?

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Déjà, j'aurais quand même franchement pas l'impression que "calculer c'est suicidaire" : ça tient deux petite lignes pas compliquées.
Et sinon, effectivement, de montrer que ce sont les mêmes racines pour les deux polynômes, c'est aussi très rapide.

[Ncdk]

Que ce soit l'un ou l'autre en fait je vois pas comment on calcule ça rapidement.

Enfin déjà je suis partit sur Mais c'est je vois pas ce que c'est en terme de polynôme cyclotomique

[Ben314]

Les racines de , c'est des racines 9-ièmes de l'unité donc surement pas des racines primitives 18em => poubelle.
Ensuite, et idem, les racines de , c'est des racines 6-ièmes de l'unité donc surement pas des racines primitives 18em => poubelle.

Sinon, tu as pas vu la façon mécanique de calculer les polynômes cyclotomiques en regardant les diviseurs de n et en utilisant la formule d'inversion de Möbius ?

[Ncdk]

Qu'est-ce que tu entends par poubelle ?

Pour finir mais du coup ce calcul je vois pas comment il m’amène à trouver

Et non, enfin jamais entendu de cette formule d'inversion, je pense que c'est pas à mon programme du coup

[Ben314]

Si tu veut, rédigé "proprement", tu écrit :
Les racines primitives 18-em de l'unité sont des racines de donc des racines de ou de .
Or les racines sont toutes des racines 9-ièmes de l'unité donc surement pas des racines primitives 18-em de l'unité.
Donc toutes les racines primitives 18-em de l'unité sont en fait des racines de donc des racines de ou de .
Or les racines sont toutes racines de donc sont toutes des racines 6-ièmes de l'unité donc surement pas des racines primitives 18-em de l'unité.
Donc toutes les racines primitives 18-em de l'unité sont en fait des racines de et c'est fini vu qu'on sait qu'on cherche un polynôme de degré , c'est que c'est celui là.

Bref, tu factorise et tu jette à la poubelle ce qui est pas bon au fur et à mesure.

Et non, enfin jamais entendu de cette formule d'inversion, je pense que c'est pas à mon programme du coup

Ca m'étonne quand même pas mal vu que c'est quand même pas compliqué du tout et que justement, ça permet de calculer le n-ième polynôme cyclotomique sans coup férir (si on connait la décomposition de n en facteur premiers).
En résumé rapide, c'est quasiment la même chose que le (long) laïus çi dessus, mais bien plus court à écrire et qui marche tout le temps.
Sinon, tu as forcément vu que vu que ça découle quasi direct de la définition, et la formule en question, c'est jamais que l'inverse de celle là et tu peut la retrouver (pour n connu) en écrivant cette formule pour tout les diviseurs de n.
Fait le pour n=18.

[Ncdk]

Ah oui je vois. C'est bien mieux, je vois comment ça fonctionne

Oui j'ai vu cette formule, pas dur à utiliser.

Je comprends pas, en fait mais le coup de l'inverse, tu m'as perdu ^^

[Ben314]

en fait

Oui, mais tu as aussi :





Et avec deux sous de bon sens, toutes ces équations te permettent d'écrire en fonction de , , , et .
Essaye de le faire

Et le terme "inverser", ici, il signifie juste que, au départ, tu as des formules donnant les en fonction des et que tu veut "inverser" ces formules pour avoir les en fonction des .
Et la formule d'inversion dont je te parle, c'est ça qu'elle te donne dans le cas général d'un quelconque.

[Ncdk]

Ah ouais je vois ! En fait elle permet de trouver puis et donc et ainsi de suite, et je suppose qu'on a pas prit ces puissances au hasard, c'est celle qui apparaissent à l'indice des dans la décomposition en polynôme cyclotomique de enfin c'est ce que je constate, je sais pas si c'est une coïncidence ou si c'est toujours le cas.

Du coup de cette manière là, avec du calcul on retrouve sans trop se noyer dans de lourd calcul et on trouve que c'est bien

[Ben314]

En fait elle permet de trouver puis et donc et ainsi de suite, et je suppose qu'on a pas prit ces puissances au hasard, c'est celle qui apparaissent à l'indice des dans la décomposition en polynôme cyclotomique de enfin c'est ce que je constate, je sais pas si c'est une coïncidence ou si c'est toujours le cas.

C'est effectivement toujours le cas et c'est tout bêtement l'ensemble des diviseurs de 18 qui apparaissent (et l'ensemble des diviseurs de dans le cas général)