Passage bizarre

[Mathusalem]

J'ai un problème de physique probabiliste, et j'arrive pas à la bonne réponse à moins que je fasse un passage fumeux, ce pour quoi je vous demande votre aide.

On se fixe à un moment t = 0, et on regarde la probabilité qu'un électron ait subit un choc il y a t_2 secondes, et qu'il subisse un choc dans t_1 secondes. On pose T = t_1 + t_2
J'ai l'expression :



Donc en introduisant T j'ai



Y a-t-il moyen de passer ça à


?

Je ne sais pas trop ce que j'ai le droit de faire et ne pas faire, et je ne sais pas si cette simplification vient du fait que l'on aurait (si on a le droit de la faire) est du deuxième ordre et donc on balance.

Merci

PS: l'expression que je cherche, c'est sûr qu'elle est nécessaire pour conclure.

[Skullkid]

A priori est aussi du deuxième ordre, donc je ne pense pas que tu aies le droit de négliger .

Mais tes expressions de départ m'étonnent un peu. Ta proba de base c'est quoi ? La proba qu'un électron subisse une collision entre t-dt et t+dt est , c'est ça ?

[Mathusalem]

Oui, et la probabilité d'observer un éléctron en t = 0 qui a subit une collision en [-(t2 + dt2), t2] et qui subira une collision en [t1, t1 +dt1] est la multiplication de ces probas.

[Skullkid]

Y a un truc bizarre pour les t négatifs : à dt fixé tend vers l'infini...

Ou alors c'est mais là c'est le côté physique qui m'interpelle : ton électron traverse un milieu à densité variable avec un maximum à t=0 ?

Si on part de , la proba qu'il ait subit une collision dans l'intervalle de temps [-t2,-t2+dt2] et qu'il en subisse une dans l'intervalle de temps [t1,t1+dt1] est bien , y a pas vraiment de façons plus simples de l'écrire. Mais peut-être as-tu seulement besoin de t'intéresser à des intervalles de même longueur dt, auquel cas ça donne .

[Mathusalem]

Y a un truc bizarre pour les t négatifs : à dt fixé tend vers l'infini...

Ou alors c'est mais là c'est le côté physique qui m'interpelle : ton électron traverse un milieu à densité variable avec un maximum à t=0 ?

Si on part de , la proba qu'il ait subit une collision dans l'intervalle de temps [-t2,-t2+dt2] et qu'il en subisse une dans l'intervalle de temps [t1,t1+dt1] est bien , y a pas vraiment de façons plus simples de l'écrire. Mais peut-être as-tu seulement besoin de t'intéresser à des intervalles de même longueur dt, auquel cas ça donne .

Oui, mais la loi de poisson n'est définie que pour t positif. Autrement, chaud de normaliser ta distribution.
On ne s'occupe pas que t soit négatif ou pas. Le fait d'observer un éléctron qui a subit une collision il y a t secondes ou dans t secondes est complètement symétrique.
Je ne vois pas ce qui t'interpelle du côté physique. On cherche à dériver la loi de [T], le temps entre deux collisions successives. Pour ce faire, on se place en t = 0, et on définit deux temps positifs, t1 et t2. On a montré avant qu'observer un éléctron qui subit une collision il y a ou dans t secondes est identique. Donc, on prend la prob d'observer un éléctron qui a subit une collision il y a t2 (dans l'intervalle ...) et qui subira une collision dans t1 (l'intervalle..). On impose ensuite que t1 + t2 = T, pour dériver la loi de T, le temps entre 2 collisions successives.

Je suis d'accord avec ton avant dernière expression, y a pas plus simple pour l'écrire. Sauf qu'on cherche la loi de T, donc on substitue T là-dedans, et après je ne sais pas comment me débrouiller rigoureusement

[Skullkid]

Ce qui me chiffonne c'est que ta probabilité ne dépend pas uniquement de la taille de l'intervalle temporel, elle dépend aussi de l'instant en lui-même : l'électron a davantage de chances de subir une collision à t=0 qu'à t=1, donc physiquement ça signifie que le milieu dans lequel il se trouve est plus dense à t=0 qu'à t=1, c'est ça qui m'interpelle. Si tu es dans un milieu homogène, tu devrais plutôt avoir quelque chose du genre que la probabilité de subir une collision pendant dt est égale à , et du coup la probabilité de subir une collision pendant est .

Bref, quoi qu'il en soit, si tu cherches le temps entre deux collisions successives, il ne s'agit pas seulement de regarder la proba de collision à t1 et à t2, il faut aussi que l'électron ne subisse pas de collisions entre t1 et t2, sinon les collisions ne sont plus successives.

[Mathusalem]

... dt est égale à , et du coup la probabilité de subir une collision pendant est .

Là ça voudrait dire qu'après t = tau, y a plus aucune chance de collision. Je crois que je me suis mal exprimé avant.

La probabilité de subir un choc pendant un intervalle dt est .
Ainsi, la probabilité de ne pas subir de choc pendant le même intervalle est .

Si on observe pendant un temps t, un a un processus binomial qui se répète un total de fois.
Donc,
et en passant à la limite dt -> 0 on obtient
Maintenant, la probabilité c'est pas la probabilité d'observer une collision dans l'intervalle [t, t+dt], comme j'ai pu le dire avant (d'où ton doute justifié), mais c'est la probabilité d'observer la première collision en [t, t+dt]. Donc il est normal que la probabilité décroisse avec le temps, car plus on avance, moins il est probable que l'electron n'ait pas encore subit de collisions.

Donc en ayant mis cela au clair, ta dernière phrase je l'ai appliquée correctement. Le temps entre deux collisions successives est bien où T est le temps entre deux collisions, et le terme qui exprime le fait qu'il n'y a pas de collisions dans [-t2, t1].

Encore une fois, je suis ramené à mon expression que je n'arrive pas à simplifier en ce qui pourtant est nécessaire.

[Skullkid]

Là ça voudrait dire qu'après t = tau, y a plus aucune chance de collision. Je crois que je me suis mal exprimé avant.

Non, ma fonction est croissante et tend vers 1 quand t tend vers l'infini. D'ailleurs cette proba et tout à fait cohérente avec ce que tu écris après (1 moins la proba de ne pas avoir de collision pendant t).

La probabilité de subir un choc pendant un intervalle dt est .
Ainsi, la probabilité de ne pas subir de choc pendant le même intervalle est .

Si on observe pendant un temps t, un a un processus binomial qui se répète un total de fois.
Donc,
et en passant à la limite dt -> 0 on obtient
Maintenant, la probabilité c'est pas la probabilité d'observer une collision dans l'intervalle [t, t+dt], comme j'ai pu le dire avant (d'où ton doute justifié), mais c'est la probabilité d'observer la première collision en [t, t+dt]. Donc il est normal que la probabilité décroisse avec le temps, car plus on avance, moins il est probable que l'electron n'ait pas encore subit de collisions.

Là on est d'accord, et en fait tu peux réécrire exactement le même raisonnement pour trouver la loi du temps entre deux collisions successives : tu te places au moment exact t0 d'une collision, n'importe laquelle. La probabilité que le temps qui s'écoule avant la collision suivante soit compris entre T et T+dT est égale la probabilité de ne pas avoir collision pendant T et d'avoir une collision entre t0+T et t0+T+dT, c'est-à-dire . Tu n'as pas besoin de t'occuper de la probabilité que la première collision se produise.

Le résultat est sympathique, parce que si tu regardes la valeur moyenne de T, tu obtiens

[Mathusalem]

Ok pour ta fonction croissante, j'ai parlé trop vite

tu te places au moment exact t0 d'une collision, n'importe laquelle. La probabilité que le temps qui s'écoule avant la collision suivante soit compris entre T et T+dT est égale la probabilité de ne pas avoir collision pendant T et d'avoir une collision entre t0+T et t0+T+dT, c'est-à-dire . Tu n'as pas besoin de t'occuper de la probabilité que la première collision se produise.

Le résultat est sympathique, parce que si tu regardes la valeur moyenne de T, tu obtiens

Le problème, c'est que ce que tu fais c'est de regarder le comportement d'un seul électron choisi et regarder le temps moyen jusqu'à sa prochaine collision.
Dans ce problème là, le groupe ne se comporte pas comme le particulier. Ce que je dois faire, c'est de montrer que le temps moyen entre deux collisions en regardant le groupe est de . Pour ça je n'ai d'autre choix que de me poser en t=0 (arbitraire) et regarder la chance que j'ai d'observer un certain type d'électron (collision en [ ].. et [ ]..). Au final, je vais arriver avec .
Sauf que pour arriver à ce raisonnement, je dois passer par

et arriver magiquement à réduire cette expression à
pour ensuite intégrer t1 de 0 à T, pour obtenir

Qui est la distribution de la variable T, dont je calcule l'espérance pour arriver sur 2

Quand Drude a dérivé ce modèle, il s'était aussi gourré parce qu'il n'a pas considéré le groupe, mais que l'électron particulier, ce qui l'a fait déduire une valeur trop grande pour la conductivité des matériaux.

[Skullkid]

Ok, en effet si on considère le groupe ça risque d'être différent...

Dans ce cas je ferais plutôt quelque chose du genre on considère une collision qui arrive entre t1 et t1+dt1, puis pas de collision pendant T, puis une collision entre t1+T et t1+T+dT, ce qui te donne ton . En gros on ne s'intéresse pas à l'effet de dt1 sur l'intervalle de temps de la deuxième collision : quand on s'occupe de la deuxième collision, on considère qu'il s'est écoulé suffisamment de temps pour qu'on puisse dire que la première collision est arrivée exactement à t1. Ça revient en fait à écrire ce que tu as écrit, mais en supposant dt1 << dT, et du coup tu as bien dt1(dT+dt1) = dt1 dT.

Je te certifie pas que c'est vrai, mais ça me semble pas trop invraisemblable... Mais alors ce qui me gêne c'est qu'il faudrait intégrer t1 de 0 à T et je vois pas trop comment ça se justifie. Soit ça se justifie et dans ce cas on tombe sur ce que tu veux, soit ça ne se justifie pas et il doit y avoir une erreur dans le raisonnement...

[Mathusalem]

Ok, j'ai suivi ton explication. Je vais réfléchir.

Je te certifie pas que c'est vrai, mais ça me semble pas trop invraisemblable... Mais alors ce qui me gêne c'est qu'il faudrait intégrer t1 de 0 à T et je vois pas trop comment ça se justifie. Soit ça se justifie et dans ce cas on tombe sur ce que tu veux, soit ça ne se justifie pas et il doit y avoir une erreur dans le raisonnement...

Ce qui n'est pas trop bien choisi, ce que je prends deux temps positifs mais construit les intervalles [-(t2 + dt2), -t2] et [t1, t1+dt], avec les temps et . En posant T constant et la condition T = t1 + t2, et en liant la variable t2 par , on a bien que peut varier qu'entre 0 et T.

Ce qui me pose problème, c'est que ta première approche m'a l'air juste, et ne requiert pas d'explications vaseuses, mais que mon approche me semble aussi correcte, mais j'ai besoin de dire dt1 0 [/tex] et . Donc tu regardes pas une situation générale parce qu'en posant ces deux temps, tu vires toute la partie du groupe qui a déjà eu une collision. Non?

[Skullkid]

Je vois pas trop ce que tu veux dire avec cette histoire de l'axe temporel. À partir du moment où on parle de première collision, il faut fixer une origine des temps. Normalement le temps moyen entre la première et la deuxième collision est le même qu'entre la 15ème et la 16ème, donc peu importe qui on appelle "première collision".

En fait j'ai du mal à voir en quoi le fait de considérer tout le groupe est différent. Si ce que tu cherches c'est le temps entre deux collisions dans tout le réseau cristallin (ce sont bien des collisions électron-cristal, ou électron-phonon qu'on considère ? Pas des collisions électron-électron ?), ça va dépendre du nombre d'électrons que tu considères : plus il y a d'électrons, moins tu vas attendre (en moyenne) entre deux collisions, et l'espérance du temps entre deux collisions va être avec N le nombre d'électrons.

Genre ça donnerait que la probabilité que la première collision concerne l'électron A entre t1 et t1+dt1 et que la deuxième collision concerne l'électron B entre t1+T et t1+T+dT vaut , parce qu'on compte le fait qu'aucun des N-2 autres électrons ne subit de collision entre 0 et t1+T. Comme A et B sont choisis au hasard dans l'ensemble des N électrons, la proba totale vaut .

[Mathusalem]

Dans le modèle de Drude, on ne connaît pas le réseau cristallin. On suppose que les électrons collisionnent avec les ions (modèle pré-quantique).

Ce qu'il y a, c'est que les collisions sont très éparses, puisqu'elles sont rares. Lorsque tu regardes un électron qui vient de faire une collision et que tu calcules le temps moyen jusqu'à la prochaine collision, tu trouves .
En revanche, lorsque tu tires un électron au hasard, tu as plus de chance de tomber dans un grand
-intervalle de collision- . Donc en général, lorsque tu observes une population d'électrons à un temps quelconque fixé, et que tu t'intéresses au temps entre la dernière et la suivante collision, tu trouveras un temps supérieur au temps que tu calcules pour un seul électron dont tu supposes qu'il vient de faire collision.

Toi ce que tu calcules, c'est : on fixe un temps quelconque, on regarde le temps de première et seconde collision ([t1, t1+dt1], [t1 + T, t1 + T + dT]).
Mais ce qui est demandé, c'est de calculer ce temps entre deux collisions, sachant que les électrons auxquels tu t'interessent ont déjà fait une collision.

En gros, on remarque que lorsque l'on fait l'analyse du groupe, on une espérance jusqu'à la première collision qui est de . Sauf que ceci est symètrique dans le temps, et que donc on a également un temps jusqu'à la dernière collision, donc un temps total de entre 2 collisions.

Lorsque l'on fait l'analyse d'un seul électron qui vient de collisionner, le temps entre deux collisions est de .

Du coup, on se dit : mais c'est contradictoire, une fois y a et l'autre fois . Alors, on réalise que les deux analyses faites dans le fond sont différentes, et on dérive concrètement la loi T qui donne la probabilité d'avoir un temps T entre deux collisions, et son espérance qui vaut .

PS: J'ai eu confirmation, on néglige le terme d'ordre dans les calculs pour obtenir la loi. Merci de ton aide !

PS2: En y réfléchissant encore, je suis pas non plus sûr de ce que je dis avec mon groupe là.. Le truc c'est d'expliciter le paradoxe qui apparemment n'en est pas un :
Quand je prends un électron qui vient de faire une collision et que je calcule le temps de collision moyen, je trouve . Quand je prends un électron au hasard et que je calcule le temps entre dernière et prochaine collision, je trouve .

[Skullkid]

Ok maintenant je vois la différence. Donc en effet, on se place entre -t1 < 0 et T-t1 > 0 et on intègre t1 de 0 à T ce qui te donne ce que tu veux.

Merci à toi, je ne connaissais pas cette correction du modèle de Drude. Comme la forme de la loi obtenue pour la conductivité est la même, ça ne change pas le côté boîte noire, mais le "vrai" sens physique des termes est intéressant.

[Skullkid]

Je double-poste parce que sinon avec tous nos édits on s'en sort plus...

En fait, la loi de Drude d'espérance tau c'est le temps avant la prochaine collision, peu importe quand la dernière a eu lieu. C'est le temps moyen que j'obtiens si je m'occupe de la première collision subie par un électron que je commence à surveiller à un instant donné. La deuxième étude prend en compte le fait que je ne sais pas quand est survenue la dernière collision avant que je ne commence à observer.

Par contre, comme toi, j'ai du mal à sentir la différence physique de fond entre les deux, et surtout pourquoi est-ce que la deuxième étude est plus pertinente que la première... Parce que si je commence à observer un électron à t=0, selon le modèle, en moyenne il aura fait sa dernière collision à -tau, sa collision suivante aura lieu à tau, et la suivante à 2tau... Et toutes les collisions suivantes seront espacées en moyenne de tau, et non de 2tau (sauf erreur de ma part). Pourquoi est-ce que les deux collisions qui encadrent le moment où je commence à observer sont plus importantes ?