Noyau d'EV

[majin]

Soit E un espace vectoriel et f de L(E).
Soit j=exp(i2pi/3)
On pose A= ker(f-idE) et B=ker(f-jidE)
La question est que vaut f(v) si v appartient à l'union de A et B.

C'est évident que si v appartient à A alors f(v)=v et que si v appartient à B alors f(v)=jv mais je ne pense pas que c'est la réponse car sinon la question serait trop banale, surtout pour une question de DM. Je me suis dis qu'on doit trouver une seule égalité dans les deux cas, mais je trouve rien.
Que pensez-vous?

[ksavier]

Il faut exploiter encore plus ta réponse :

f(v)=v et f(v)=jv
par transitivité on en déduit que v=jv i.e. (j-1)v=0 comme j est différent de 1 alors cela implique que v=0.

Plus généralement, tu pourras retenir que les sous espaces propres A et B associés à des valeurs propres distinctes (1 et j) sont en somme directes.

[Peacekeeper]

Il faut exploiter encore plus ta réponse :

f(v)=v et f(v)=jv
par transitivité on en déduit que v=jv i.e. (j-1)v=0 comme j est différent de 1 alors cela implique que v=0.

Plus généralement, tu pourras retenir que les sous espaces propres A et B associés à des valeurs propres distinctes (1 et j) sont en somme directes.

Hum, il me semble que v appartient à AUB, donc on a en réalité f(v)=v OU f(v)=jv, non?
Donc en déduire que v=jv... C'est moyennement légitime.

[ksavier]

Très juste, j'ai fait une erreur de consigne : v n'appartient pas à l'intersection de A et B mais à l'union de A et B.

En effet, on ne peut rien conclure de pertinent lorsque v appartient à AUB à part que f(v)=v ou f(v)=jv.