Algèbre linéaire, méthode de résolution (image, noyau, et matrice inversible)

[Blandine]

Bonjour, vous allez sans doute me prendre pour une débutante qui n'arrive même pas à comprendre son cours, mais là, je suis larguée. Je suis en première année de licence MIPE et en algèbre linéaire, comme avant d'ailleurs, j'ai toujours eu beaucoup de mal à comprendre la notion d'image (Im(f)).
Et là, dans mon module d'algèbre linéaire, je n'arrive pas à trouver la méthode pour savoir comment m'orienter dans un exercice quand on me demande de déterminer l'image de f, que ce soit à partir d'une matrice ou juste de la définition d'une quelconque application f. J'ai à peu près la même difficulté en ce qui concerne le noyau, mais seulement quand on n'a que la matrice d'une application, si on a l'application elle-même, j'y arrive sans problème...
J'ai beau retourner le cours dans tous les sens, c'est trop généralisé pour que je ne puisse l'appliquer.. :triste:

D'autre part, je n'arirve par à comprendre comment dire si une matrice est inversible, est-ce qu'il faut utiliser le pivot de Gauss pour obtenir une matrice triangulaire à diagonale non-nulle (ce qui montrerai qu'elle est inversible, si on y arrive)?

J'espère que vous pourrez m'expliquer sans que ça ne vous prenne torp de temps

Merci d'avance

Blandine

P.S. j'ai un exam dans quelques jours, et j'ai écumé les sites web que j'ai pu trouver sur le sujet, mais je n'arrive pas à comprendre.

[emdro]

bonjour,

réponse à la deuxième question dans un premier temps:


connais-tu le déterminant?

[Blandine]

non, j'en ai seulement entendu parlé par d'autres élèves qui sont dans un autre module. je ne crois pas que l'on est censé le voir, il ne nous reste qu'une heure de cours en tout et pour tout...

[emdro]

OK, c'est pas grave. Ce sera un outil (un peu compliqué) pratique puisqu'une matrice sera inversible à condition que son déterminant soit différent de 0. Mais laissons cela à plus tard.

Donc pour toi, oui, il faut après pivot de Gauss trouver une diagonale avec AUCUN élément nul. Tu as dit diagonale non nulle, c'est ambigu...

[maf]

Je sais pas si ça peut t'aider :

A une matrice carrée nxn
A est inversible :
- si son déterminant est non-nul
- si toutes les colonnes et les lignes de A sont linéairement indépendantes
- si AX= B n'a qu'une seule et unique solution

L'espace des lignes de A forme un système d'équations AX = B
Un système de Cramer est un système qui nous fournit directement toutes les inconnues de ce système d'équation (AX = B) en utilisant le fait que toutes les lignes sont indépendantes.
Le système de Cramer utilise le déterminant de la matrice A comme diviseur, donc, s'il est nul, il y a comme un léger problème

Le système de Cramer nous donne une seule et unique solution !! --> revient à AX = B

Si rg(A)=n ... cela veut dire que les lignes et colonnes de A sont lin. indép

Comment regarder si une matrice peut s'inverser ... l'échelonner, la réduire ... et tu obtiendras directement la matrice inverse si elle existe

[Blandine]

ok, (emdro et Rain') je pense avoir compris, mais j'ai eu des doutes en voyant sur un site d'exercices avec solution, que pour montrer si une matrice était inversible, ils faisaient les calculs en parralèle avec la matrice identité, et entre les colonnes (par exemple, on ajoute fois le 1er vecteur colonne au 3è) et comme je n'ai fais que des calculs entre les lignes, je me suis demandé pourquoi ils faisaient comme, et si ça changeai quelque chose...

[emdro]

Ensuite, tu fais une distinction entre connaitre la fonction linéaire et connaitre sa matrice, cela me semble étrange. Sais-tu ce qu'est la matrice d'une application linéaire?

[maf]

Ce que tu apelle à faire en parrallèle avec la matrice identité ... c'est la méthode de Gauss qui revient à échelonner et réduire une matrice --> tu obtiens direct la matrice inverse si elle existe !!

Si tu veux je peux te faire un exemple concret avec la matrice que l'on te demande !!

[emdro]

ok, (emdro et Rain') je pense avoir compris, mais j'ai eu des doutes en voyant sur un site d'exercices avec solution, que pour montrer si une matrice était inversible, ils faisaient les calculs en parralèle avec la matrice identité, et entre les colonnes (par exemple, on ajoute fois le 1er vecteur colonne au 3è) et comme je n'ai fais que des calculs entre les lignes, je me suis demandé pourquoi ils faisaient comme, et si ça changeai quelque chose...

Oui, c'est une méthode qui existe et repose sur le fait qu'on fait les mêmes opérations pour passer de A à I que de I à A-1.

[emdro]

Je laisse la main, car si on s'y met tous, Blandine va être plus embrouillée après qu'avant...

A+

[Blandine]

oui, je sais trouver la matrice d'une application linéaire, mais je ne pensais pas qu'il fallait la trouver à chaque fois que l'on nous demande. Enfin je pense que je m'exprime mal, de toute façon, pour l'image, je n'y arrive jamais, mais pour le noyau, si j'ai la matrice, je ne sais pas comment faire, alors qu'avec l'application linéaire, je pense avoir a peu près compris. En fait, je ne sais pas si c'est possible, quand on a la matrice, de retrouver l'application linéaire. (quoique, ce que je viens de dire est sans doute une énormité...)

[Blandine]

je veux bien un exemple avec : M =
1 -2 -2
-2 1 -1
-2 -2 1

Par contre, maf, je n'ai pas tout compris avec le systeme de Cramer...

[Blandine]

ah cool, ca m'aide ca, c'est déjà un peu plus clair. Par contre, pour résoudre, AX = 0, enfin, c'est peut-être bébéte que je réagisse comme ça, mais il n'y a pas que si x1 = x2 = x3 = 0 que ça fonctionne, désolée, je ne vois pas d'autre solution, sauf s'il y a des zéros dans A...

[maf]

Oublie le système de Cramer si tu n'a pas vu les déterminants ...

Pour ta matrice, la rendre inversible avec la méthode de Gauss

1 -2 -2 l 1 0 0
-2 1 -1 l 0 1 0
-2 -2 1 l 0 0 1
--> j'ajoute deux fois la ligne 1 aux suivantes
1 -2 -2 l 1 0 0
0 -3 -5 l 2 1 0
0 -6 -3 l 2 0 1
--> j'ajoute -2 fois la 2ème ligne à la 3ème
1 -2 -2 l 1 0 0
0 -3 -5 l 2 1 0
0 0 7 l -2 -2 1
--> je divise la ligne 2 par -3 et la ligne 3 par 7
1 -2 -2 l 1 0 0
0 1 5/3 l -2/3 -1/3 0
0 0 1 l -2/7 -2/7 1/7
--> j'ajoute -5/3 fois la ligne 3 à la ligne 2
1 -2 -2 l 1 0 0
0 1 0 l -4/21 1/7 -5/21
0 0 1 l -2/7 -2/7 1/7
--> j'ajoute 2 fois la ligne 2 et 2 fois la ligne 3 à la ligne 1
1 0 0 l 1/21 -2/7 -4/21
0 1 0 l -4/21 1/7 -5/21
0 0 1 l -2/7 -2/7 1/7

La matrice était donc inversible ... et la matrice inverse est :
1/21 -2/7 -4/21
-4/21 1/7 -5/21
-2/7 -2/7 1/7

PS : J'espère ne pas avoir fait d'erreur ...

[Blandine]

et juste après ça, on peut dire qu'elle est inversible parce que l'on obtient une matrice triangulaire a diagonale d'aucun élément nul? enfin, est ce que l'on doit dire que les vecteurs sont linéairement indépendants? (je sais que les correcteurs aiment bien avoir des justification, donc j'assure mes arrières..) et donc c'est la matrice que l'on obtient à droite qui est l'inverse...

[Blandine]

ah oui, dsl rain, je viens de tilter pour la multiplication d'une matrice par un vecteur ou par une autre matrice, que c'est pas de la même manière que par un scalaire... désolée pour cette étourderie

[Blandine]

et pour ce qui est de l'image de f? je comprend le concept enfin la définition, en fait, mais comme faire, c'est mon gros problème.
Maf, merci pour l'exemple, je croyai qu'il fallait séparer la démonstration de l'inversibilité de M des calculs pour trouver l'inverse, parce que si la matrice, n'est pas inversible, on se retrouve coincé dès la 2è ou 3è étape, selon notre rapidité de calcul, nn? enfin quand je dis coincé, je parle juste de la ligne nulle.. si j'ai bien compris

[maf]

La base de imF est donc pour ta matrice M

Les 3 vecteurs suivants :

1
-2
-2

-2
1
-2

-2
-1
1

Et si je me trompe pas ... le noyau c'est que l'origine (solution triviale)

[maf]

Si une ligne nulle apparaît dans ta méthode de Gauss d'échelonnage et réduction, alors ta matrice n'est pas inversible !

[Blandine]

et en général, si on me demande "déterminer l'image de f", le fait que je donne seulement une base n'est pas important, ou est-ce qu'il faut que je trouve un moyen de réécrire la base d'une façon généralisée?