Lien determinant et noyau

[Nicolas59]

Salut

Pourquoi lorsque le determinant d'une matrice est non nul, le ker de l'application linéaire qui est associée à cette matrice est réduit à zéro? :mur:

[Ben314]

Salut,

Le déterminant d'une matrice A, comme son nom l'indique, ça permet de déterminer, pour un vecteur Y fixé, le nombre de solutions (en X) du système AX=Y : si le determinant est non nul, il y une unique solution, si le determinant est nul, il y a zéro ou une infinité de solutions.

Le noyau (Ker) d'une matrice (ou plutôt de l'endomorphisme associé), par définition, c'est l'ensemble des vecteurs X tels que AX=0.
Vu qu'il y a comme solution "triviale" X=0, on en déduit que :
Si le determinant est non nul, X=0 est la seule solution.
Si le determinant est nul, il y a une infinité de solutions.

[Nicolas59]

Merci beaucoup

Et est ce que si je fais une suite d'implication logique, ça peut marcher également?


J'ai un corollaire dans un bouquin affirmant:

Si A est inversible alors la seule solution de l'équation AX=0 est X=0.

Donc:
Det A <>0 => A est inversible
=> la solution de AX=0 est X=0
=> le noyau de l'endomorphisme est réduit au vecteur nul

[Ben314]

Ben, si tu as vu ce qu'est une matrice inversible alors tu as la suite d'équivalences suivante :
A inversible det(A) non nul ker(A)={0} Im(A)=ensemble d'arrivé
qui sont "archi-classiques" (on s'en sert en permanence)

[Nicolas59]

Mais tout ceci n'est vrai que lorsque dim (espace départ) = dim (espace d'arrivée) ? Autrement dit lorsqu'il sont isomorphes

Par ailleurs Ker =0 <=> Im A = espace d'arrivée, n'est pas très clair pour moi...

[Ben314]

Pour moi, vu que tu parlait du déterminant de A et que seule les matrices carrées ont un déterminant, il était effectivement totalement sous entendu que les espaces de départ et d'arrivé avaient la même dimension !!!

La "formule" Ker =0 Im A=esp_d'arrivé (dans le cas où ils ont la même dimension) n'est qu'un cas particulier de la formule générale qui dit que
dim(Ker(A))+dim(Im(A))=dim(esp_départ) qui se démontre "bètement", c'est à dire en écrivant une base de Ker(A) et une base de Im(A) (que l'on "relève" en une famille de l'espace de départ)