Noyau

[polka-dots]

Bonjour, j'ai deux questions:

- le cardinal, c'est bien le nombre de vecteurs d'une famille; et la dimension, le nombre de paramètres que comportent l'ensemble? Je confonds toujours ces deux termes.

- Je dois démontrer que G est un sev de R4, G= {(x,y,z,t) appartenant à K4/ x+y=z-2t}

Pour cela, mon prof dit que G est le noyau, et donc une forme linéaire non nul et donc un hyperplan de dimension 3, et donc un sev.

J'ai pas suivi le raisonnement, pourriezvous m'expliquer pourquoi:

- c'est un noyau (je ne vois pas en quoi les images sont réduites au vecteur nul)
- pourquoi c'est une forme linéaire non nulle
- Pourquoi c'est espace de dimension 3 ici(enfin comment on le montre)

après je sais que par définition, si c'est le noyau de l'application, alors c'est forcément un sev de R4.

[polka-dots]

dimension 3, parce que t peut être exprimé en fonction de z,y,x donc hyperplan, je pense?

[Doraki]

c'est le noyau de quelle application ?

[polka-dots]

Dans l'énoncé, je n'ai que ça. Mais mon prof a posé Kerf, donc de l'application linéaire f ... mais bon jvois toujours pas

[Doraki]

T'as pas une idée d'une application linéaire f qui serait telle que G = {(x,y,z,t) / f(x,y,z,t)=0} ?

[polka-dots]

ah si en faite c'est tout simplement le noyau de l'application linéaire f: R4 -> R, (x,y,z,t) -> (x+y-z+2t)

je ne savais pas qu'on pouvait en "créer" une en quelque sorte

[Nightmare]

Salut !

Et ici ton application n'est pas seulement une application linéaire mais même une forme linéaire (l'espace d'arrivé est le corps des scalaire). Son noyau est alors ce qu'on appelle un hyperplan. Dans un espace de dimension fini n, il est de dimension n-1. (Dans un espace quelconque, on résume ça en disant qu'il est de codimension 1)

Donc ici on peut affirmer que notre sev est de dimension 3, ou si tu préfères, ses bases ont exactement 3 vecteurs.

[Doraki]

Ca vient du théorème du rang.

[Nightmare]

On peut aussi montrer à la main rapidement que tout vecteur qui n'est pas dans le noyau engendre une droite supplémentaire au noyau pour comprendre comment ça marche.

Salut Doraki :happy3:

[alavacommejetepousse]

on fait un vague dessin en perspective en dim3 on trace un vague parallélogramme et on voit ce qui se passe.