Les sous anneaux de Z

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Unknown16294
Membre Naturel
Messages: 30
Enregistré le: 04 Déc 2012, 17:15

Les sous anneaux de Z

par Unknown16294 » 11 Déc 2012, 03:23

Salut tout le monde :
Comment peut on montrer que le seul sous anneaux de Z est Z lui meme?
Merci pour l'aide.



Nerra
Membre Naturel
Messages: 86
Enregistré le: 07 Déc 2012, 03:07

par Nerra » 11 Déc 2012, 06:03

Hello,

Je pense qu'en se servant de la définition d'un sous-anneau d'un anneau A, il y a moyen de s'en sortir pas mal. Maintenant, il y a peut-être plus simple.

Disons qu'on a B un sous-anneau de Z. On ne sait pas encore ce qu'est B. Par contre, on sait que
1°) B est un sous-groupe de A pour l'addition,
2°) B est stable pour la multiplication,
3°) Le neutre multiplicatif de A appartient à B.

On sait déjà que 1 appartient à B par 3°).
Or, B est un sous-groupe pour l'addition, c'est-à-dire que l'addition est interne à B. Or, 1 + 1 = 2. Puis 2 + 1 = 3. Etc.
De plus, il faut un neutre pour l'addition, c'est 0.
Enfin, il faut que les inverses soient dans B. L'inverse de 0 est 0, de 1 est -1, celui de 2 est -2. Etc.

On se retrouve donc avec l'ensemble des entiers Z.

Bon bien sûr, il faut y mettre un peu de formalisme pour rendre tout cela joli mais l'idée est là.

Oh et vu que B = Z, il est évidemment stable pour la multiplication, vu que Z est un anneau.


En espérant t'avoir éclairé un minimum,

Nerra

arnaud32
Membre Irrationnel
Messages: 1973
Enregistré le: 18 Oct 2010, 15:43

par arnaud32 » 11 Déc 2012, 14:07

Unknown16294 a écrit:Salut tout le monde :
Comment peut on montrer que le seul sous anneaux de Z est Z lui meme?
Merci pour l'aide.


tu peux deja partir du fait que les sous groupes additifs de Z sont de la forme nZ

Unknown16294
Membre Naturel
Messages: 30
Enregistré le: 04 Déc 2012, 17:15

par Unknown16294 » 11 Déc 2012, 16:10

arnaud32 a écrit:tu peux deja partir du fait que les sous groupes additifs de Z sont de la forme nZ

Oui c'est plus pratique :id:

Unknown16294
Membre Naturel
Messages: 30
Enregistré le: 04 Déc 2012, 17:15

par Unknown16294 » 11 Déc 2012, 16:12

Nerra a écrit:Hello,

Je pense qu'en se servant de la définition d'un sous-anneau d'un anneau A, il y a moyen de s'en sortir pas mal. Maintenant, il y a peut-être plus simple.

Disons qu'on a B un sous-anneau de Z. On ne sait pas encore ce qu'est B. Par contre, on sait que
1°) B est un sous-groupe de A pour l'addition,
2°) B est stable pour la multiplication,
3°) Le neutre multiplicatif de A appartient à B.

On sait déjà que 1 appartient à B par 3°).
Or, B est un sous-groupe pour l'addition, c'est-à-dire que l'addition est interne à B. Or, 1 + 1 = 2. Puis 2 + 1 = 3. Etc.
De plus, il faut un neutre pour l'addition, c'est 0.
Enfin, il faut que les inverses soient dans B. L'inverse de 0 est 0, de 1 est -1, celui de 2 est -2. Etc.

On se retrouve donc avec l'ensemble des entiers Z.

Bon bien sûr, il faut y mettre un peu de formalisme pour rendre tout cela joli mais l'idée est là.

Oh et vu que B = Z, il est évidemment stable pour la multiplication, vu que Z est un anneau.


En espérant t'avoir éclairé un minimum,

Nerra

Merci c'est plus clair maintenant. :ptdr:

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 15 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite