Les sous anneaux de Z

par **Unknown16294** » 11 Déc 2012, 02:23

Salut tout le monde :
Comment peut on montrer que le seul sous anneaux de Z est Z lui meme?
Merci pour l'aide.

par **Nerra** » 11 Déc 2012, 05:03

Hello,

Je pense qu'en se servant de la définition d'un sous-anneau d'un anneau A, il y a moyen de s'en sortir pas mal. Maintenant, il y a peut-être plus simple.

Disons qu'on a B un sous-anneau de Z. On ne sait pas encore ce qu'est B. Par contre, on sait que
1°) B est un sous-groupe de A pour l'addition,
2°) B est stable pour la multiplication,
3°) Le neutre multiplicatif de A appartient à B.

On sait déjà que 1 appartient à B par 3°).
Or, B est un sous-groupe pour l'addition, c'est-à-dire que l'addition est interne à B. Or, 1 + 1 = 2. Puis 2 + 1 = 3. Etc.
De plus, il faut un neutre pour l'addition, c'est 0.
Enfin, il faut que les inverses soient dans B. L'inverse de 0 est 0, de 1 est -1, celui de 2 est -2. Etc.

On se retrouve donc avec l'ensemble des entiers Z.

Bon bien sûr, il faut y mettre un peu de formalisme pour rendre tout cela joli mais l'idée est là.

Oh et vu que B = Z, il est évidemment stable pour la multiplication, vu que Z est un anneau.

En espérant t'avoir éclairé un minimum,

Nerra

par **arnaud32** » 11 Déc 2012, 13:07

Unknown16294 a écrit:Salut tout le monde :
Comment peut on montrer que le seul sous anneaux de Z est Z lui meme?
Merci pour l'aide.

tu peux deja partir du fait que les sous groupes additifs de Z sont de la forme nZ

par **Unknown16294** » 11 Déc 2012, 15:10

arnaud32 a écrit:tu peux deja partir du fait que les sous groupes additifs de Z sont de la forme nZ

Oui c'est plus pratique :id:

par **Unknown16294** » 11 Déc 2012, 15:12

Nerra a écrit:Hello,

Je pense qu'en se servant de la définition d'un sous-anneau d'un anneau A, il y a moyen de s'en sortir pas mal. Maintenant, il y a peut-être plus simple.

Disons qu'on a B un sous-anneau de Z. On ne sait pas encore ce qu'est B. Par contre, on sait que
1°) B est un sous-groupe de A pour l'addition,
2°) B est stable pour la multiplication,
3°) Le neutre multiplicatif de A appartient à B.

On sait déjà que 1 appartient à B par 3°).
Or, B est un sous-groupe pour l'addition, c'est-à-dire que l'addition est interne à B. Or, 1 + 1 = 2. Puis 2 + 1 = 3. Etc.
De plus, il faut un neutre pour l'addition, c'est 0.
Enfin, il faut que les inverses soient dans B. L'inverse de 0 est 0, de 1 est -1, celui de 2 est -2. Etc.

On se retrouve donc avec l'ensemble des entiers Z.

Bon bien sûr, il faut y mettre un peu de formalisme pour rendre tout cela joli mais l'idée est là.

Oh et vu que B = Z, il est évidemment stable pour la multiplication, vu que Z est un anneau.

En espérant t'avoir éclairé un minimum,

Nerra

Merci c'est plus clair maintenant. :ptdr:

Les sous anneaux de Z

Les sous anneaux de Z

Qui est en ligne