Sous anneaux de C

[MouLou]

Et que vaut la norme d'un élément de Z[i] non nul par rapport a 1???????????????????????????????????????????????

[ArtyB]

Elle est forcément supérieure ou égale à 1

[MouLou]

Et donc pourquoi si la norme d'un élément de Z[i] est strictement supérieure à 1, il ne peut pas etre inversible dans Z[i]?

[ArtyB]

Parce que les seuls éléments inversibles de Z[i] sont 1,-1, i et -i. car l'ensemble des éléments inversibles de Z[i] est sont les éléments Z de norme égale à 1.
Si z de Z[i] a une norme égale à 1 alors z*\bar{z}=1 et z est bien ivnersible dans Z[i].
Si z est inversible dans Z[i], alors il existe z' de Z[i] tq zz'=1 et norme(z)*norme(z')=1 ie la norme de z est inversible de l'ensemble des entiers naturels, donc elle est égale à 1.

[MouLou]

Oui, mais a la base c'est exactmenet l'argument que je voulais te donner pour montrer rapidement que les seuls inversibles étaient les éléments de module 1 :p. Bref on s'est compris maintenant

[ArtyB]

Ahhhhh au temps pour moi. J'ai été lent à comprendre tout ça mais ça s'est fait finalement.

Donc pour la question 4 on a trouvé que divisait 1 car on a trouvé l'élément qui vérifie XY=1 et qui est bien dans .

Pour la question 5:
"S'il existait un homomorphisme d'anneau F de dans , ça serait de quelle forme F(a+ib) ?"
Je ne comprends pas ce que tu veux dire, cela dépend de f non ?


Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois1 propriétés suivantes :
f est un morphisme de Z[i] vers si:
Pour tous A=a+ia', B=b+ib' dans Z[i] :
-f(a + b) = f(a) + f(b)
-f(a b) = f(a) f(b)
-f(1A) = 1B.

Je suppose qu'il faut prouver qu'une des conditions ci dessus n'est pas vérifiée ?

[Ben314]

Si F est un morphisme d'anneau de Z[i] dans Z[racine(3)] alors, du fait que F(1)=1 et que F(a+b)=F(a)+F(b) on déduit (récurrence) que F(n)=n pour tout entier naturel N. Du fait que F(-a)=-F(a) on déduit alors que F(n)=n pour tout entier relatif n.
On en déduit que, pour tout entiers relatifs a et b , on a F(a+bi)=a+bF(i), c'est à dire que le morphisme F est entièrement déterminé par la connaissance de F(i).
Peut-on prendre n'importe quoi pour F(i) ou y-a-t'il des contraintes ?

[ArtyB]

Je comprends ton raisonnement jusqu'à F(a+ib)=F(a)+F(ib)=a+F(i)F(b)=a+F(i)b.
Ensuite pour F(i) les contraintes sont:
F(i+z)=F(i)+F(z)
F(iZ)=F(i)F(Z)

[Robot]

Ne connais-tu pas une célèbre identité algébrique satisfaite par i ?

[ArtyB]

mais je ne vois pas ici comment s'en servir, on a bien:
F(i)*F(i)=i*i=i²=-1
F(i*i)=F(i²)=F(-1)=-1

[Robot]

F(i)*F(i)=i*i

??????????????????

[ArtyB]

Enfin c'est le cas si F est un isomorphisme.
Mais ici comme c'est ce que l'on cherche à démontrer...
j'ai du mal à saisir votre raisonnement

[chan79]

j'ai du mal à saisir votre raisonnement

F(i*i)=F(i)*F(i)
F(-1)=(F(i))²
Ben a montré F(n)=n pour n entier

Sinon, est inversible dans

il y en a d'autres:





je me demande s'il y aurait moyen de les expliciter tous ...

[Ben314]

F(i)*F(i)=i*i=i²=-1

Il faudrait quand même au minimum comprendre l'énoncé : l'ensemble d'arrivé de F, c'est Z[racine(3)] et i n'est pas dedans donc F(i) ne risque pas d'être égal à i !!!

[Ben314]

je me demande s'il y aurait moyen de les expliciter tous ...

Oui et c'est assez classique : est inversible dans ssi (équation de Pell-Fermat) et les solution sont les avec .

[chan79]

Oui et c'est assez classique : est inversible dans ssi (équation de Pell-Fermat) et les solution sont les avec .

OK merci bien