Sous anneaux de C

[ArtyB]

Bonsoir,
Est-ce que je résous correctement les premières questions de cet exercice ?
Je suis preneur de toute aide !

On introduit:

et


1) Montrer que et sont des sous-anneaux de C
Z[x] est un sous anneau de C si:
-Z[x] est un groupe additif
-
-L'élément neutre multiplicatif 1 appartient à Z[x]

Pour Z[i]:
-c'est un sg additif car pour tout X=x+ix' et Y=y+iy' de Z[i] on a Y+X=(x+y)+i(x'+y')
- Soit X=x+ix' et Y=y+iy', on a XY=(xy-x'y')+i(xy'+yx') qui appartient bien à Z[i]
- 1=1+0i appartient bien à Z[i]
Pour Z[\sqrt{3}]:
- c'est un sg additif car pour tout de on a
-Soit , on a qui appartient bien à
- appartient bien à

2) Montrer que ce ne sont pas des corps
A est un corps si tout élément non nul de A est inversible. Je suppose qu'il faut trouver un contre-exemple pou chacun des sous-anneaux.
-pour
-pour :

3)Chercher les éléments inversibles de l'anneau Z[i]
Je ne comprends pas bien le sens de la question, parce que en soit si je prends x=2+i*0 j'ai l'inverse 1/x=1/2 et je peux en faire plusieurs comme ça...

4) Montrer que, dans l'anneau

5) Montrer qu'il n'existe pas d'homomorphisme d'anneau de dans

[aymanemaysae]

Pour la question n° 2 : soit u = 1 + i et supposons u son inverse,
donc : u * u = 1 u = = - i qui n'appartient pas Z[i] .
Et soit v = 1 + et supposons v son inverse,
donc : v * v = 1 u = = - + qui n'appartient pas Z[]

[Ben314]

Le début c'est bon.
Pour le 3), tu es vraiment sûr que 1/2 est un élément de Z[i] ?

[ArtyB]

Ok, au temps pour moi, ce ne sont pas des entiers du coup pas d'inverses.

Donc pour la 3) faut il que je trouve une forme générale ou ?

[Ben314]

Pour la 3), tu regarde quelle forme a l'inverse d'un élément puis à quelle condition cet inverse est bien dans l'anneau en question.

[aymanemaysae]

Pour la question n° 3 : soit u = a + ib telles que (a,b) (0,0), et supposons u son inverse,
donc u * u = 1 u = = ,
donc pour que Z[i] il faut que a^2+b^2 = 1 : la conclusion est directe.

[Ben314]

... pour que Z[i] il faut que a^2+b^2 = 1

ça, il me semble bien que ça demande une PREUVE.
Le truc évident, c'est que si a²+b²=1 alors la fraction est ans Z[i], mais la réciproque n'est pas claire du tout vu que pour qu'une fraction A/B soit dans Z, il n'est pas nécessaire que B=1 : par exemple 6/2 est dans Z.

[aymanemaysae]

Vous avez raison.
De plus un ami m'a dit qu'il faut passer par une fonction : C IN qui au complexe a+ib fait correspondre l'entier naturel a^2+ b^2 .

[aymanemaysae]

Excuser moi d'avoir posté la réponse à la question n° 3 sous forme d'image, mais c'est parce que je ne maitrise pas encore la langage Latex.

[MouLou]

Robot ne t'avait pas déjà demandé d'éviter de donner la réponse aussi vite?

Sans avoir à passer par la fonction , qui n'est en fait que la norme au carré, on n'a qu'à remarquer que si z est inversible dans Z[i],et de norme strictement supérieure à 1, alors son inverse devrait etre de norme strictement inférieure à 1, tout en étant à coordonnées entières, et la ça craint.

[ArtyB]

Merci aymanemaysae pour ce raisonnement clair.

@MouLou:
"Sans avoir à passer par la fonction , qui n'est en fait que la norme au carré, on n'a qu'à remarquer que si z est inversible dans Z[i],et de norme strictement supérieure à 1, alors son inverse devrait etre de norme strictement inférieure à 1, tout en étant à coordonnées entières, et la ça craint."

Si z est inversible dans Z[i] donc de la forme pour et de norme >1 ie ,
alors la norme de est comme et , on a et et après il doit y avoir une histoire d'inégalité triangulaire pour démontrer que la somme est inférieure à 1 ?


Pour la question 4 je ne comprends pas trop, 1 et sont tous les deux des éléments de mais comment démontrer que second divise le premier ? Qu'y a t-il comme propriété spécifique au sous anneau permettant de le dire ?

5) Je suppose que l'on doit se servir des questions précédentes mais je ne vois pas comment, j'ai beau revoir mes popriétés de morphisme d'anneaux

[Ben314]

...alors la norme de est ...

Si tu me dit que tu n'as jamais vu que , je pense que... je ne te croirais pas...

...comment démontrer que second divise le premier ?

C'est quoi la définition de "A divise B" ?

Je suppose que l'on doit se servir des questions précédentes

Pas vraiment....
S'il existait un homomorphisme d'anneau F de dans , ça serait de quelle forme F(a+ib) ?

[aymanemaysae]

Pour la question n° 4, je crois que ( + 2) divise 1 veut dire qu'il existe un u Z[i] tel que ( + 2) u = 1,
et en remarquant que (a+)(-a+) = -a^2 +3 , la conclusion me parait directe.

[aymanemaysae]

Pour rendre à César ce qui est à César, je tiens à remercier particulièrement M. Ben314 de son aide et ses remarques qui font de toutes les discussions auxquelles il contribue de vrais cours de soutien, surtout pour moi.
Merci.

[ArtyB]

@Ben314 Oui bon ok en fait c'était plus simple comme ça pour montrer que la norme de l'inverse de z est inférieure à 1 mais pourquoi le "et là ça craint" dans ce cas ?

divise 1 si ie si 1 congrue à 0 modulo .

@aymanemaysae Oui j'ai vu ça et je l'ai :
mais est-ce tout ce qu'il suffit de dire ? Qu'en est il de la spécification "dans l'anneau ?

[Robot]

Soient et des éléments d'un anneau commutatif . La phrase " divise dans " veut dire qu'il existe dans tel que .

Que veut dire " divise dans " ?

[MouLou]

Bin calcule la norme d'un élément de Z[i] non nul

[ArtyB]

@Robot
Cela veut dire qu'il existe tel que or c'est le cas pour

@MouLou
La norme est mais je ne vois pas trop où tu veux en venir

[MouLou]

compare la a 1....

[ArtyB]

Si la norme de Z est alors oui la norme de l'inverse de Z est mais en quoi cela nous aide-t-il ici ?