Exercice sur les anneaux des entiers de Gauss

[Julien9]

Bonjour à tous, voici un exercice que j'aimerais faire et qui est assez compliqué. Pourriez vous m'aider?



La question a est assez simple (propriétés des anneaux à démontrer), mais le reste j'ai plus de difficultés.
Merci à tous ceux qui ont lu, et à tous ceux qui répondent.

[Le_chat]

Pour la b), si tu écris z=x+iy, que devient l'inégalité?

[Julien9]

Ah oui ^^"

z=x+iy
q=a+ib

|z-q| <=> |i(x-a)+(y-b)|=V((x-a)²+(y-b)²)
donc il faut que (x-a)²+(y-b)²<1

[Le_chat]

Oui c'est ça. Tu vois comment conclure? Souviens toi que x, y sont des reels, et que tu veux trouver deux entiers tels que (x-a)^2 et (y-b)^2 sont les plus petits possibles.

[Julien9]

Alors j'ai essayé de continuer, j'ai fait le (a), le (b), (c) partie i
Mais je suis bloqué pour le (c) partie ii et le (d) et (e)
Pourriez vous m'aider?

[Julien9]

Dans la question c ii j'ai fait ça:

en posant x=x1+ix2
et y=y1+iy2

j'obtient après transformation:

x/y=(x1y1+y2x2)/(y1²+y2²) + i*(x2y1-x1y2)/(y1²+y2²)

Je sais pas trop comment continuer

[Julien9]

J'ai avancé, mais je suis bloqué a la dernière question!

Pouvez vous m'aider?

[Le_chat]

Pour la dernière question, à chaque fois tu écris:
le nombre recherché=(a+ib)(a'+ib') et tu regardes ce que ça donne sur ab, a' et b'.