Montrer que Z/4Z*Z/4Z a 3 sous anneaux

[Moii84]

Bonjour tout le monde,
Il faudrait montrer que Z/4Z*Z/4Z a 3 sous anneaux
J'ai commencé par :

1) Soit ;);)A
;)={ (x,x) / x;)Z/4Z} Montrer que ;) est une sous anneau de (A,+,*) :
(1,1) ;);)
(;),+,*) est un anneau
Donc ;) est un sous anneau de A

2) Soit B un sous anneau Montrer que ;);)B:
Soit Eb=B;)({0}*Z/4Z)
= {y;)Z/4Z , (0,y);)B}
Si B=;) on a Eb={0}
on peut avoir aussi : Eb= {0,2}
Eb={0,1,2,3}
Si(x,y) ;) Eb , (o,x) ;)B et (o,y);)B on a (o,x-y) ;) B , x-y ;) Eb
Eb sous grous de Z/4Z
si 1 ;)Eb on a Z/4Z ;) Eb {0,1,2,3}
si 3 ;)Eb on a Z/4Z ;) Eb {0,1,2,3}


à partir d'ici je ne sais plus ce qu'il faut faire ou dire et encore je ne suis pas sûr que tout ceci soit exacte
Donc je suis bloqué ici et n'arrive pas a montrer explicitement les 3 sous anneaux

Merci d'avance de vos soutiens

[arnaud32]

si B est un sous anneau il contient (1,1) et est stable par addition ...

[Moii84]

oui je suis d'accord mais je vois vraiment pas la marche à suivre

[arnaud32]

(1,1) est dans ton ensemble et il est stable par addition donc les multiples entiers de (1,1) sont dedans, il contient donc {n(1,1) | n entier}= {(n,n) | n entier}

[Anonyme]

@arnaud32
Bonjour
Pourquoi (1,1) devrait être dans les sous-ensembles recherchés ? ( les sous-anneaux de Z/4Z*Z/4Z )
Est ce que la notion de "sous-anneau" veut dire que (1,1) appartient forcément à ce sous-ensemble ?

[Moii84]

(1,1) est dans ton ensemble et il est stable par addition donc les multiples entiers de (1,1) sont dedans, il contient donc {n(1,1) | n entier}= {(n,n) | n entier}

oui je suis encore d'accord mais cet ensemble {n(1,1) | n entier}= {(n,n) | n entier}, ce n'est pas celui montré dans le 1) qui est le plus petit des sous anneaux de Z/4Z* Z/4Z ?
Ne doit-on pas chercher à construire les autres sous anneaux a partir de ce dernier ? si je me trompe il en reste 2 à trouver..

[Anonyme]

oui je suis encore d'accord mais cet ensemble {n(1,1) | n entier}= {(n,n) | n entier}, ce n'est pas celui montré dans le 1) qui est le plus petit des sous anneaux de Z/4Z* Z/4Z ?
Ne doit-on pas chercher à construire les autres sous anneaux a partir de ce dernier ? si je me trompe il en reste 2 à trouver..

D'après ce message il faut comprendre qu'il est nécessaire de démontrer que l'ensemble {n(1,1) | n entier}
1) est un sous anneau de Z/4Z*Z/4Z
2) est le plus petit des sous anneaux de Z/4Z*Z/4Z

Question:
Peut dire dire quelle est la différence entre les 2 ensemble suivant :
={ (x,x) / x;)Z/4Z}
et
{n(1,1) | n entier}= {(n,n) | n entier}

[Moii84]

Question:
Peut dire dire quelle est la différence entre les 2 ensemble suivant :
={ (x,x) / x;)Z/4Z}
et
{n(1,1) | n entier}= {(n,n) | n entier}[/quote]


non à vrai dire, une subtilité dois m'échapper, j'ai l'impression que ces 2 ensembles représentent la diagonale

[Anonyme]

si on pose :
={ (x,x) / x;)Z/4Z}={ x(1,1) / x;)Z/4Z}

Comme x;)Z/4Z est quelconque, on a :
ou ou ou

A toi de démonter que ;)= {(n,n) | n entier}

ps)
est un ensemble de points qui se trouvent sur la diagonale ( points à coordonnées entières ) dans un plan muni du repère (généralement orthonormé) de passant par le point O

[Moii84]

si on pose :
={ (x,x) / x;)Z/4Z}={ x(1,1) / x;)Z/4Z}

Comme x;)Z/4Z est quelconque, on a :
ou ou ou

A toi de démonter que ;)= {(n,n) | n entier}

Ok c'est bon merci je considérais inconsciemment que n;)Z/4Z , mais j'ai du mal à voir ce que je peux en faire les additionner oui mais concrètement j'ai du mal à le voir

[Anonyme]

Ok c'est bon merci je considérais inconsciemment que n;)Z/4Z , mais j'ai du mal à voir ce que je peux en faire les additionner oui mais concrètement j'ai du mal à le voir

Si on pose ={x=x(1,1)} avec
Si alors avec
Si alors avec
alors
avec et donc

[Anonyme]

Concrètement j'ai du mal à le voir

Concrètement = {(n,n) | n entier} est l'ensemble des points à coordonnées entières de la "demie-diagonale dite interne" de
car et donc

[arnaud32]

je me suis mal exprime
ton sous anneau contient la classe de (1,1) que je note qui est le neutre multiplicatif
elle contient aussi son oppose
anis que tous leurs multiples (a cause de la stabilite par adddition)
tu as donc
et tu as bien

[Anonyme]

ton sous anneau contient la classe de (1,1)

@arnaud32
C'est ce qu'on appelle un sous-anneau unitaire mais dans certains ensembles il existe des sous anneaux non unitaires....
Dans l'ensemble , je ne sais pas si cette condition est nécessaire et suffisante pour avoir la structure de sous anneau ?

[arnaud32]

quand on parle d'anneau c'est en general un anneau unitaire unitaire sinon a parle de pseudo-anneau

[Anonyme]

Bonjour tout le monde,
Il faudrait montrer que Z/4Z*Z/4Z a 3 sous anneaux

Bonsoir Moii84
Questions :
1) Quels sont les sous groupes additifs de Z/4Z*Z/4Z : cad les sous ensembles E de Z/4Z*Z/4Z tels que (E,+) soit un groupe ?
2) Parmi ces sous groupes additifs quels sont ceux qui ont une structure d'anneau : cad (E,+,x) est un anneau ?

[Moii84]

Bonsoir Moii84
Questions :
1) Quels sont les sous groupes additifs de Z/4Z*Z/4Z : cad les sous ensembles E de Z/4Z*Z/4Z tels que (E,+) soit un groupe ?
2) Parmi ces sous groupes additifs quels sont ceux qui ont une structure d'anneau : cad (E,+,x) est un anneau ?

J'ai peur de dire des énormités ou de tout mélanger..
Les groupes additifs sont {0,1,2,3} généré par 1 et 2
{0,2} généré par 2
{0} généré par 0

seul le groupe {0,1,2,3} à une structure d'anneau

[Anonyme]

J'ai peur de dire des énormités ou de tout mélanger..
Les groupes additifs sont {0,1,2,3} généré par 1 et 2
{0,2} généré par 2
{0} généré par 0

seul le groupe {0,1,2,3} à une structure d'anneau

Bonsoir
Regardons Z/4Z = {0 + 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 4 + 4Z}={}
Je suis en accord avec ton message , et je pense également que les seuls sous groupes additifs de Z/4Z sont :
{}
{}
{}

Par contre pourquoi Z/4Z = {} est le seul à avoir une structure d'anneau ?

ps)
Explication sur le sous-ensemble {}
Il n'est pas stable par l'addition car

[Moii84]

Par contre pourquoi Z/4Z = {} est le seul à avoir une structure d'anneau ?

[/TEX]

Z/4Z = {} est un sous groupe de Z/4Z
c'est stable par multiplication
1 appartient a Z/4Z

donc c'est une structure d'anneaux

[Anonyme]

Z/4Z = {} est un sous groupe de Z/4Z
c'est stable par multiplication
1 appartient a Z/4Z

donc c'est une structure d'anneaux

OK mais les 2 sous-ensembles de Z/4Z
{}
{}
sont également stables pour multiplication (la loi x)

Comme on sait que (Z/4Z, + x) a une structure d'anneau (la loi x est associative et distributive par rapport à +, ..etc...)
donc ces 2 sous-ensembles sont également des "speudo-anneaux"
car l'élément neutre de la loi x n'est pas dans ces 2 sous ensembles