Intégrabilité

par **rouliane** » 17 Mar 2007, 14:29

Bonjour,

J'ai un petit souci avec un exo ( ou plutot une correction ) d'intégrabilité.

Une fonction f est supposée de classe C² sur R+, et convexe.
Dans la correction de l'exo, j'ai " comme la limite de f' en +oo vaut 0, alors f'' est intégrable sur R+ "

J'arrive pas trop à voir d'où ça vient, mais je pense qu'on peut dire que :

.

Donc l'intégrale

converge, or

donc

est intégrable sur R+

Est-ce ça la justification ?

Merci d'avance,

Rouliane.

par **fahr451** » 17 Mar 2007, 17:44

bonjour

oui c'est correct

mais d'où vient lim f ' = 0 ?

par **rouliane** » 17 Mar 2007, 17:53

Merci ;)

On est amené pendant l'exo à montrer que la limite de f'(x) vaut 0 en +oo.

par **fahr451** » 17 Mar 2007, 17:55

f est supposée bornée ? donne moi les hypothèses stp :happy2:

par **rouliane** » 17 Mar 2007, 18:06

Voici l'exo complet :

On considère une fonction f : R+ --> R , convexe, de classe C² .
On pose pour tout entier naturel n,

.

Comparer la nature des séries

et

par **fahr451** » 17 Mar 2007, 18:18

le TAF donne[f(t) -f(n) ]/(t-n) = f ' ( c(t,n)
et par croissance de f '

f ' (n+1) (t-n)=puis par intgration
f ' (n) /2 =
f ' étant croissante a une limite dans R+U{+inf} et par monotonie a un signe fixe au voisinage de +inf ce qui assure que les séries sont de même nature

mais lim f ' = 0 ? y a une autre hypothèse c 'est forcé. :happy2:

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