Intégrabilité

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit I un intervalle borné, et f(x)=1

Comment justifier que f est intégrable sur I ?

Merci

[Arbre]

Bonsoir,

si , par définition de l'intégrale de Riemann (ou aussi de Lebesgue)

Cordialement.

[Viko]

Salut,

pour montrer que f est intégrable sur I au sens de Riemann il te suffit de montrer que l'intégrale de f est bornée sur tout segment de I, ce qui ne devrait pas s'avérer trop compliqué vu qu'il s'agit d'une fct constante !

[pascal16]

si I=]a;b[, [a;b[, ]a;b] ou [a;b], la valeur de l'intégrale ne ne change pas

[mehdi-128]

Salut,

pour montrer que f est intégrable sur I au sens de Riemann il te suffit de montrer que l'intégrale de f est bornée sur tout segment de I, ce qui ne devrait pas s'avérer trop compliqué vu qu'il s'agit d'une fct constante !

Je crois que fonction bornée sur intervalle bornée = intégrable

[mehdi-128]

Bonsoir,

si , par définition de l'intégrale de Riemann (ou aussi de Lebesgue)

Cordialement.

Donc il existe M réel tel que :

Donc f est intégrable c'est ça ?

[mehdi-128]

si I=]a;b[, [a;b[, ]a;b] ou [a;b], la valeur de l'intégrale ne ne change pas

Si l'intervalle I est ouvert il faut étudier l'intégrabilité sur tout segment inclus dans I .... Et étudier l'intégrabilité au voisinage des points où c'est ouvert

[mehdi-128]

J'ai une autre question :

Soit fn une fonction continue par morceaux sur I majorée par une fonction Phi intégrable :

alors fn est intégrable sur I.

Mais si fn n'est pas continue ça marche toujours ?

[Arbre]

Bonjour,

Bonsoir,

si , par définition de l'intégrale de Riemann (ou aussi de Lebesgue)

Cordialement.

Donc il existe M réel tel que :

Donc f est intégrable c'est ça ?

Non, c'est par définition de l'intégrale, qu'elle est intégrable et que l'intégrale vaut ce que j'ai mis.

Tu es obligé de poser certaines fonction intégrables d'office, et bien les fonctions intégrables d'office ce sont les fonctions en escaliers (finis) sur un ensemble intervalle bornée, à partir de là on définie les autres intégrales.

Bonne journée.

[Arbre]

J'ai une autre question :

Soit fn une fonction continue par morceaux sur I majorée par une fonction Phi intégrable :

alors fn est intégrable sur I.

Mais si fn n'est pas continue ça marche toujours ?

Oui cela marche toujours, mais il faut que les soient continue par morceau (pour Riemann) ou mesurables (pour Lebesgue)

[mehdi-128]

J'ai une autre fonction :



J'aimerais étudier l'intégrabilité en + infini



Mais x->1/x^2 est intégrable au voisinage de + infini comment montrer que e/x^2 l'est ?

[Viko]

est intégrable au voisinage de donc l'intégrale est bornée que peux-tu donc en dire pour l'intégrale ?

[mehdi-128]

est intégrable au voisinage de donc l'intégrale est bornée que peux-tu donc en dire pour l'intégrale ?

Mon e je le sors de l'intégrale donc cette intégrale est aussi majorée par M'=Me donc intégrable.

Mais un truc me bloque, la définition dit : "On démontre que f est intégrable sur I si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout segment [a, b] inclus dans I, l'intégrale entre a et b de f(x)dx est majorée par un réel M"

Pourquoi on étudie en +infini s'il suffit de montrer pour tout segment inclus dans [0,+infini[ ?

[pascal16]

ici f est positive

si l'intégrale de f est majorée par M pour tout segment du type [0;N] avec N réel aussi grand qu'on veut, on a bien que l'intégrale converge vers un nombre plus petit ou égal à M.
Le démo peut se faire par les suites In=integrale de 0 à N de f.