Integrabilité

[MannuoChan]

En verifiant l'integrabilite de sin(1/t²) sur ]0,+00[ , J'ai trouvé dans la correction que :
au voisinage de 0, elle est bornee donc integrable! Par contre , au voisinage de l"infini , il faut chercher un equivalent :(1/t²) .
J'ai pas bien compris pourquoi au voisinage de 0 il suffit de dire qu'elle est bornee bien que la fonction est aussi bornee au voisinage de +00. Est ce que on peut aussi dire la fonction est bornee au vois de l'infini donc elle est integrable?

[Lostounet]

Il y a plein de trucs qui sont bornés à l'infini mais pas intégrables.
Comme t-> 1/t que tu peux contrôler par une constante M en valeur absolue et qui est pas intégrable.

Par contre en un point donné c'est différent.

Donc pour y arriver à cette intégrale quand même tu peux chercher un équivalent qui te permet d'affirmer qu'elle se comporte comme la gentille 1/t^2 qui est gentiment intégrable en l'infini

C'est "comme" pour les séries des 1/n. Les termes deviennent infiniment petits et c'est pas sommable. Il faut que ça tende vers 0 et vite!

[MannuoChan]

Par contre en un point donné c'est différent.
!

donc si une fonction est bornee au voisinage d'un point , elle est integrable au vois de ce point ?

[Kolis]

Bonsoir !
Non ! Bornée ne suffit pas. Il y a d'autres conditions (suffisantes) à connaître : les plus fréquentes étant la continuité, la continuité par morceaux, la monotonie et ceci sur un voisinage (éventuellement épointé).

[Lostounet]

Bonsoir !
Non ! Bornée ne suffit pas. Il y a d'autres conditions (suffisantes) à connaître : les plus fréquentes étant la continuité, la continuité par morceaux, la monotonie et ceci sur un voisinage (éventuellement épointé).

Salut Kolis,
Concernant la présente fonction, compte tenu de sa régularité, il n'est pas suffisant de la borner au voisinage de 0 ?

Merci de nous éclairer?

[Kolis]

Je répondais à celui qui a écrit :

donc si une fonction est bornee au voisinage d'un point , elle est integrable au vois de ce point ?

car sa phrase ne mentionne aucune "régularité" (si ce terme te suffit, pourquoi pas ?)

[Lostounet]

D'accord, mais pour bien étayer le propos il faudrait mentionner le fait qu'elle est bornée en 0 en plus d'être quoi?
(Pour être Riemann-intégrable )

[Razes]

La fonction est bornée partout et continue partout sauf au point 0 qui peut être considéré comme un intervalle de mesure 0 donc intégrable au sens de Riemann.

On peut utiliser aussi la somme de Darboux inférieure et supérieure par subdivision de l’intervalle au voisinage de 0.