Espaces vectoriels

[capitaine nuggets]

Bonjour, je butte sur un petit exercice :

est un -espace vectoriel ;
et sont deux sous-espaces vectoriels de tels que ;
est le supplémentaire de dans .

Je dois montrer que , mais je n'arrive même pas à montrer que .

Merci d'avance pour votre aide :++:

[Doraki]

Ecris la définition de "F' est un supplémentaire de F inter G dans F".

[capitaine nuggets]

Ecris la définition de "F' est un supplémentaire de F inter G dans F".

D'accord : .
Je l'avais déjà écrite, le problème c'est que je ne sais pas/vois pas comment m'en servir.

[Doraki]

Le seul sev non trivial dont tu sais qu'il est réduit à {0}, c'est F' inter (F inter G) = {0}
Donc ton seul espoir pour montrer que F' inter G = {0}, c'est de montrer que F' inter G est inclus dans F' inter F inter G.

[capitaine nuggets]

Le seul sev non trivial dont tu sais qu'il est réduit à {0}, c'est F' inter (F inter G) = {0}

Je ne comprends pas bien :

Quand tu dis "il", c'est F' ?
Qu'entends-tu par sev non trivial ? Du coup, qu'est-ce qu'un sev trivial ?

[Doraki]

Je veux dire, avec tes hypothèses, le SEUL moyen de montrer qu'un sev est {0}, c'est de montrer qu'il est inclus dans le SEUL sev dont tu sais qu'il est {0}, c'est à dire inclus dans F' inter (F inter G).

Si tu regardes bien tes hypothèses, la seule manière d'écrire une preuve qu'un élément x est nul, donc une preuve ressemblant à "Soit x dans ... ... ... donc x=0" est de terminer par "... donc x est dans F' inter (F inter G), qui est {0}, donc x = 0". (enfin sauf la preuve idiote "soit x dans {0}. Alors par définition x=0")

[capitaine nuggets]

Je veux dire, avec tes hypothèses, le SEUL moyen de montrer qu'un sev est {0}, c'est de montrer qu'il est inclus dans le SEUL sev dont tu sais qu'il est {0}, c'est à dire inclus dans F' inter (F inter G).

Si tu regardes bien tes hypothèses, la seule manière d'écrire une preuve qu'un élément x est nul, donc une preuve ressemblant à "Soit x dans ... ... ... donc x=0" est de terminer par "... donc x est dans F' inter (F inter G), qui est {0}, donc x = 0". (enfin sauf la preuve idiote "soit x dans {0}. Alors par définition x=0")

Ah d'accord.
D'où le fait que tu m'as dit de montrer que :
.

Mais comment le montrer ? J'ai du mal à démarrer...

[Doraki]

Ben il suffit de montrer que le truc à gauche est inclus dans F', qu'il est inclus dans F, et qu'il est inclus dans G.

[capitaine nuggets]

Ben il suffit de montrer que le truc à gauche est inclus dans F', qu'il est inclus dans F, et qu'il est inclus dans G.

Oui, mais j'ai du mal à justifier ça :

Poir moi, donc .

Est-ce qu'on a la droit de dire que si alors avec ensembles ? espaces vectoriels ?

Parce que ce n'est pas évident pour moi que par exemple.

[mrif]

Oui, mais j'ai du mal à justifier ça :

Poir moi, donc .

Est-ce qu'on a la droit de dire que si alors avec ensembles ? espaces vectoriels ?

Parce que ce n'est pas évident pour moi que par exemple.

Ce qui n'est pas évident pour toi provient tout simplement de la définition de l'inclusion.
A inclus dans B SSI tout élément de A appartient à B

[capitaine nuggets]

Ah si alors c'est bon, je comprends !

Merci beaucoup à vous deux !

Et maintenant, comment montrerais-t-on que ?

[mrif]

Ah si alors c'est bon, je comprends !

Merci beaucoup à vous deux !

Et maintenant, comment montrerais-t-on que ?

Soit x dans E, x = x1 + x2 avec x1 dans F et x2 dans G.
x1 dans F, x1 = x' + x" avec x' dans F' et x" dans F inter G.
Donc x = (x'+x")+x2 = x' + (x"+x2)

[mrif]

Ah si alors c'est bon, je comprends !

Merci beaucoup à vous deux !

Et maintenant, comment montrerais-t-on que ?

Soit x dans E, x = x1+x2 avec x1 dans F et x2 dans G
x1 = x'+x" avec x' dans F' et x" dans F inter G
x = (x'+x")+x2 = x' + (x"+x2)

[capitaine nuggets]

Soit x dans E, x = x1+x2 avec x1 dans F et x2 dans G
x1 = x'+x" avec x' dans F' et x" dans F inter G
x = (x'+x")+x2 = x' + (x"+x2)

D'accord !
Et comme , donc d'où .

Merci :++: