Equation fonctionnelle

par **Nightmare** » 29 Mai 2010, 23:07

Tu as f(x+y)=f(x)f(y)

En dérivant par rapport à x, on obtient f'(x+y)=f'(x)f(y) puis en prenant x=0 : f'(y)=f'(0)f(y) et donc f(y)=exp(f'(0)y).

:happy3:

par **AceVentura** » 30 Mai 2010, 08:50

Ok ! Il me reste plus qu'à démontrer qu'il existe un unique

. Si on avait

, cela résulte du fait que

est une bijection de

sur

. Mais comment le prouver ?

par **Doraki** » 30 Mai 2010, 08:54

ln est une bijection de R+* dans R donc pour n'importe quel f'(0) dans R il existe un unique a > 0 tel que ln(a) = f'(0).
Et en fait, a = f(1).

f'(0) > 0 n'a rien à voir là dedans.

par **AceVentura** » 30 Mai 2010, 08:56

Euh, en fait non, la surjection suffit !

par **AceVentura** » 30 Mai 2010, 08:57

Oui Doraki, je m'en suis rendu compte après !
Avez-vous des applications de ce genre d'équations fonctionnelles ?

par **AceVentura** » 30 Mai 2010, 09:09

Le

qu'a introduit Nightmare, il est strictement positive car f est continue et strictement positive ? Il n'y a rien d'autres à rajouter comme hypothèse ?

par **Doraki** » 30 Mai 2010, 09:25

oui on a supposé que f ne s'annulait pas, et que f(0) valait 1.
f est continue et strictement positive, donc l'intégrale est > 0.

Equation fonctionnelle

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