Equation fonctionnelle

[AceVentura]

Bonjour,

je fais un blocage sur une étude d'équation fonctionnelle : on cherche l'ensemble des fonctions qui vérifient . La fonction nulle est solution, et, si une solution s'annule en un point elle est identiquement nulle donc est solution. Désormais, f n'est pas la fonction nulle, et ne s'annule pas. Alors elle est strictement positive et prend la valeur 1 en 0.
Jusqu'ici, c'est ok.
Maintenant, si une fonction est continue en un point, elle est continue sur . Ok aussi. Et maintenant, il s'agit de prouver que si elle est continue en un point, elle est dérivable sur . C'est ici que je bloque.

[Finrod]

La dérivabilité en 0 implique la dérivabilité partout.

Je ne vois pas comment la continuité pourrait impliquer la dérivabilité. Mais j'ai peut être raté un truc.

[AceVentura]

Attention, c'est faux en général en effet ! Il se trouve que, dans le cas particulier de l'étude de cette équation fonctionnelle, c'est vrai.

[Finrod]

La méthode traditionnelle que je connais pars plus de l'étude point par point.

Tu calcules f(n) puis f(p/q) et tu conclus par densité.

Si tu fais ça, la solution que tu obtiens est bien dérivable, mais en même temps l'exo est plié. Je suppose que cet exo suit une autre méthode.

[Nightmare]

Salut,

Vu qu'on sait que f est continue, l'idée est d'exprimer f en fonction de ses primitives. Essayez d'intégrer l'équation fonctionnelle en fixant une des variables, de tête ça me semble marcher :happy3:

[AceVentura]

Si elle est continue en un point, elle est continue sur donc admet des primitives sur , c'est ça que tu utilises ?

[Nightmare]

C'est bien ça :happy3: C'est a priori la seule chose qu'on peut faire.

[AceVentura]

J'ai bien essayé, mais je ne vois pas comment utiliser ce résultat :(

[Nightmare]

En intégrant par exemple entre 0 et 1 par rapport à y :


Et avec le changement de variable affine t=x+y

Je te laisse essayer de conclure.

[AceVentura]

Donc , puis avec x=0, on voit que donc f(0)=1, mais on le savait déjà, à moins que je fasse fausse route.

[Nightmare]

Pourquoi prendre x=0 ? On veut montrer que f est dérivable, ça n'incite pas du tout à prendre x=0 ...
Par contre, on peut du coup écrire avec , et par le théorème fondamental, est dérivable (car différence de deux primitives de f) donc f aussi

[AceVentura]

f est strictement positive ET continue, donc n'est pas nulle, c'est pour cela que tu divises ?

Il faut également prouver que avec .

[Nightmare]

Oui, on a effectivement aussi besoin du signe stricte.

Pour le reste, maintenant qu'on a prouvé que f est dérivable, il reste plus... qu'à dériver :lol3:

[Olympus]

Cf. "exponential Cauchy equation" sur Google :-)

( ceux qui veulent quand même trouver par eux même, évitez )

[AceVentura]

Pour le reste, maintenant qu'on a prouvé que f est dérivable, il reste plus... qu'à dériver :lol3:

Comment ça ?


Sinon, en dérivant : .

Donc , non ?

[Finrod]

Mais euh, si on dit soit F la primitive de f qui vaut 1 en zéro.

En intégrant la relation vérifié par f pour le premier paramètre et en l'appliquant en 0 pour le second.

On trouve F=f donc f est dérivable et f'=f.

[Doraki]

Sinon, en dérivant : .

Tu as oublié que lambda aussi dépend de x.

En ayant (F(1)-F(0))*f(x) = F(x+1)-F(x), ça dit que f est dérivable,
et que, en dérivant ça :
(F(1)-F(0))*f'(x) = f(x+1)-f(x),
soit (F(1)-F(0))*f'(x) = (f(1)-f(0))*f(x).

[AceVentura]

J'ai pas très bien compris le message de Finrod. Lorque Nightmare pose , il a le droit de le faire car f est continue et strictement positive, donc l'intégrale sera strictement positive.
Je crois qu'il veut me faire écrire qu'il faut également vérifier que f ne change pas de signe, je ne vois pas pourquoi. J'ai cru que ça suffisait la continuité + la positivité.
Bref, on trouve bien une équation différentielle du type où K est une constante. Donc et comme f(0)=1 je trouve , ce qui n'est pas le résultat attendu

[Kernel]

:dodo: en dérivant les deux membres obtient
[d/dx]f(x).(valeure constante d'integrale définie)=f(x+1)-f(x).
ça marche.

[AceVentura]

Quelle égalité dérives-tu exactement ?
J'ai bien capté l'idée de Nightmare : , comme ce sont des fonctions continues, on peut intégrer sur et écrire ce qui donne après changement de variable avec . Puis on dérive .

Après, je fais un blocage.
J'essaye en utilisant le fait que ce soit solution et je ne sais pas justifier que .