Diagonalisabilité d'un operateur

[Charmander]

Bonjour,

Soit et l'endomorphisme de défini par pour tout matrice .

a) Soit une base de et \{0}. Déterminer le sous-espace .
b) Montrer que si est diagonalisable, alors A et B le sont aussi.

Je bloque sur la b). Dans le a), j'ai démontré que le sous-espace recherché était mais je ne vois vraiment pas le rapport avec le petit b), ni comment aborder ce dernier. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? C'est la dernière question (donc censée être la plus difficile) de mon DM. Merci d'avance !

[adrien69]

J'achète la question a), ça m'a l'air plausible.

Maintenant, si est diagonalisable, il a une base (ah tiens ? On avait pas ça dans les hyothèses de a) ?) de et des complexes tels que pour tout



Supposons que X soit un vecteur propre de B associé à b un complexe (on est dans , ça existe toujours d'après le théorème fondamental de l'algèbre + Cayley-Hamilton)

Alors en multipliant à droite par ,



Donc à supposer que est non nul, est un vecteur propre de A (tiens, tiens ? On se rapproche là non ?). Sauf que là on a la question A, et que donc on sait que le rang de la famille pour i et j variant, est n. Donc on a une famille de vecteurs stables (diagonaux si tu préfères, ou inchangés, mais comme ils peuvent "à la limite" être nuls, on n'a pas le droit de dire propres) qui engendre l'espace , on peut toujours en extraire une sous-famille qui est une base. Et donc finalement, A est diagonalisable.

En multipliant à gauche par un vecteur ligne dont la transposée conjuguée est un vecteur propre du conjugué de A, on aurait eu le même résultat sur B* qui est diagonalisable si et seulement si B l'est.

Et c'est fini !

[adrien69]

Question supplémentaire :

Et la réciproque ? Si vrai, le démontrer, sinon exhiber un contre-exemple et donner une condition suffisante sur le couple (A,B) pour que soit diagonalisable.

[Charmander]

Merci beaucoup pour votre aide !

En ce qui concerne la réciproque, c'est en fait la question précédente dans le DM et je l'ai démontré avec la codiagonalisabilité de deux matrices (multiplicateur par A à gauche et multiplicateur par B à droite) qui commutent.

[adrien69]

Merci beaucoup pour votre aide !

En ce qui concerne la réciproque, c'est en fait la question précédente dans le DM et je l'ai démontré avec la codiagonalisabilité de deux matrices (multiplicateur par A à gauche et multiplicateur par B à droite) qui commutent.

C'est pas plutôt A et B* sont codiagonalisables ? Revois ta démonstration. Et dire qu'elles commutent c'est pas suffisant, c'est : elles commutent et sont diagonalisables.