Densité

par **ramanujo** » 07 Aoû 2007, 20:41

Bonjour les matheux...
Je bute sur une question d'un probleme (qui ne depend d'aucune autre question...):

Montrer que l'ensemble des points à coordonnées rationnelles est dense dans le cercle unité.

J'avoue que cela ne me parait pas naturel mais bon....
Pouvez vous m'aider......

par **Babe** » 07 Aoû 2007, 21:32

analogie avec la densité de Q dans R ?
enfin je dis ca je dis rien, il commence a etre tard :dodo:

par **legeniedesalpages** » 07 Aoû 2007, 22:06

Je sais pas, peut être une idée:

On considére l'application

définie sur

par

C'est une homéomorphie de

sur lui-même.
Elle transforme la droite

de

en

où

est le cercle unité.

La droite

est homéomorphe à

par l'homéomorphisme

.

Donc

est une homémorphie de

sur

.

et

.

Donc tout point de

est limite d'une suite de points de

.
D'autre part

est limite de la suite à coefficients rationnels de points de

:

.

Donc tout point de

est limite d'une suite de points de

à coefficients rationnels.

Sauf erreur.

par **legeniedesalpages** » 07 Aoû 2007, 22:10

Je pense qu'on pourrait généraliser la question:

Soit

un compact de

.
L'ensemble des points à coordonnées rationnelles est-il dense dans

?

par **yos** » 07 Aoû 2007, 22:44

legeniedesalpages a écrit:Je pense qu'on pourrait généraliser la question:

Soit un compact de .
L'ensemble des points à coordonnées rationnelles est-il dense dans ?

Sûrement pas : la courbe

(dans le plan) ne contient aucun point à coordonnées rationnelles (sauf les quatre triviaux).

par **yos** » 07 Aoû 2007, 22:47

Pour revenir à la question initiale, le paramétrage du cercle unité par

devrait prouver la chose (en donnant à t des valeurs rationnelles).

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