Densité des sin(n) dans [-1,1]

par **benekire2** » 19 Aoû 2010, 19:10

Bonsoir à tous,

Je propose un exo (dur mais super intéressant) et je vous pose une question à la fin ( et oui :zen: ) :

Montrer que la suite de terme générale sin(n) est dense dans [-1,1]

Amusez vous bien !

Question: Comment puis-je montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de sin(p) est [-1,1] ? Merci !

par **Joker62** » 19 Aoû 2010, 19:19

Encore pire ! Le montrer pour n à valeur dans les entiers premiers !!! :D
C'est vrai aussi, mais a des années lumières de difficultés lol :)

par **Nightmare** » 19 Aoû 2010, 19:23

Salut,

La question, ainsi posée, n'a pas trop de sens. Ce ne sont pas les "valeurs" qui sont denses dans [-1,1] , mais la suite.

Pour ta question, l'ensemble des valeurs d'adhérence de sin(n) n'est pas dense dans [-1;1], mais est [-1;1] tout entier, c'était surement ça ta question? Dans ce cas, si tu sais faire l'exercice que tu proposes, tu devrais pouvoir répondre à ta question, puisque c'est quasiment la même !

par **benekire2** » 19 Aoû 2010, 19:24

Joker62 a écrit:Encore pire ! Le montrer pour n à valeur dans les entiers premiers !!!
C'est vrai aussi, mais a des années lumières de difficultés lol

Salut joker !!!

Je l'avais lu sur ce forum ( cas des premiers) , il me semble que ce devait être nightmare qui demandait , mais je crois pas qu'il y avait eu de réponse ... ( mais bon, j'étais trop jeune .. )

par **Joker62** » 19 Aoû 2010, 19:27

Y'a eu un tit livre sur ça
Je sais pas si c'est réellement difficile, mais pour les intéressés :

http://math.univ-lille1.fr/~ramare/Maths/PetitLivreA4-2.pdf

par **benekire2** » 19 Aoû 2010, 19:30

Nightmare a écrit:Salut,

La question, ainsi posée, n'a pas trop de sens. Ce ne sont pas les "valeurs" qui sont denses dans [-1,1] , mais la suite.

Pour ta question, l'ensemble des valeurs d'adhérence de sin(n) n'est pas dense dans [-1;1], mais est [-1;1] tout entier, c'était surement ça ta question? Dans ce cas, si tu sais faire l'exercice que tu proposes, tu devrais pouvoir répondre à ta question, puisque c'est quasiment la même !

Ok, je corrige ,

Sinon, je vais essayer d'adapter la méthode !

par **Nightmare** » 19 Aoû 2010, 19:32

Il n'y a pas grand chose à adapter. Qu'est-ce que ça veut dire pour une suite d'être dense dans un ensemble? Et qu'est-ce qu'une valeur d'adhérence? Avec ceci, tu peux faire le lien entre les deux questions.

par **benekire2** » 19 Aoû 2010, 19:34

Oui, oui, c'est bon :we:
Je met ma preuve demain matin (sur les deux questions)

par **Nightmare** » 19 Aoû 2010, 19:35

benekire2 a écrit:Oui, oui, c'est bon :we:

A priori non, puisque tu continues toujours à discerner les deux questions, alors que c'est exactement la même :lol3:

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 12:18

mea culpa

Pour la preuve :

On suppose connu les sous groupes additifs de R.

On commence d'abord par montrer ce résultat :

Pour l'implication réciproque on peut écrire u/v=p/q avec pgcd(p,q)=1 et donc :

Pour l'implication directe : il existe des entiers m et n tels que u=wn et v=wm ainsi u/v est rationnel.

Lemme. Soit I et J des intervalles de R. On considère f:I -> J continue sur I et surjective. Si D est un sous ensemble dense de I alors f(D) est dense dans J.

Cela se résume donc a montrer que pour tout intervalle H de I, l'intersection de H et f(D) est non vide.
Or

Or,

y est contenu. Du fait que D est dense dans I et que f^{-1}(H) est non vide et est un intervalle ( f continue et surjective) on en déduit que

est non vide ainsi du fait que f est surjective

est non vide.

Fin de la démo:

La fonction cosinus R--> [-1,1] est continue et surjective et 2pi périodique. On a

or

est dense dans R, ainsi ainsi sin est dense dans [-1,1] :happy2:

PS nightmare, oui en effet, il suffit de prendre un intervalle centré sur a[-1,1] et de prendre une valeur de la suite, puis de réduire de moitié l'intervalle et ainsi de suite ...

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 13:33

Salut,

Il y a de l'idée (tu as trouvé ça tout seul?) mais , quelques remarques :

On suppose connu les sous groupes additifs de R.

Ca diminue grandement le niveau de l'exercice :lol3:

On a

Attention, c'est

qui nous intéresse!

est dense dans R

C'est à prouver (sauf si on le considère dans les "résultats connus sur les groupes additifs", mais ça serait un peu exagéré :lol3:)

par **dibeteriou** » 20 Aoû 2010, 13:49

J'ai comme référence la même preuve que la sienne...
Si tu en as une autre, qui n'admet pas que

est irrationnel, je suis preneur :-D

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 13:50

Salut nightmare ,

Non, je n'ai pas trouver tout ca tout seul, il y avait deux questions intermédiaires:

1. Montrer que uZ+vZ=wZ <=> u/v rationnel
2. Montrer le Lemme
3. En déduire que sin(N) est dense dans [-1,1]

C'est quand même plus facile avec ces questions, même si j'ai quand même galéré...

Pour ta première remarque, l'exercice sous entend qu'on connait les sous groupes additifs de R, c'est un résultat "classique" de sup il me semble.

Pour ta seconde remarque, oui, je me suis planté c'est a revoir la démo .... et je vois pas trop comment je vais le faire pour l'instant... mais avec la parité de sin et sa périodicité il y a de quoi y parvenir ( j'aurais préférer la fonction cosinus :we: )

Enfin pour ta dernière remarque , je l'ai démontré, c'est simplement la contraposée du premier résultat que je démontre ,

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 13:50

dibeteriou a écrit:J'ai comme référence la même preuve que la sienne...
Si tu en as une autre, qui n'admet pas que est irrationnel, je suis preneur

Il n'est pas question de redémontrer que pi est rationnel, mais quitte à "supposer connu le résultat sur les sous-groupes additif", autant le citer quand même au moins une fois ! En l'occurrence, ici.

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 13:53

Pour ta première remarque, l'exercice sous entend qu'on connait les sous groupes additifs de R, c'est un résultat "classique" de sup il me semble.

"classique" c'est un bien grand mot, pour dire qu'un résultat est "classique", il faut avoir au moins rencontré un minimum de fois le résultat dans sa vie et dans les exercices!

Enfin pour ta dernière remarque , je l'ai démontré, c'est simplement la contraposée du premier résultat que je démontre ,

Hum non, la contraposée du premier résultat que tu démontres est que si u/v est irrationnel, alors uZ+vZ n'est pas de la forme wZ. Cela dit, c'est presque terminé une fois ceci dit.

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 14:06

dibeteriou a écrit:J'ai comme référence la même preuve que la sienne...
Si tu en as une autre, qui n'admet pas que est irrationnel, je suis preneur

Ca m'intéresserait également, parce que c'est une grosse supposition que pi soit irrationnel ...

par **dibeteriou** » 20 Aoû 2010, 14:08

Nightmare a écrit:Il n'est pas question de redémontrer que pi est rationnel, mais quitte à "supposer connu le résultat sur les sous-groupes additif", autant le citer quand même au moins une fois ! En l'occurrence, ici.

En fait, je me demandais si une autre preuve existait, mais il semble que celle ci soit la plus simple.

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 14:10

Nightmare a écrit:"classique" c'est un bien grand mot, pour dire qu'un résultat est "classique", il faut avoir au moins rencontré un minimum de fois le résultat dans sa vie et dans les exercices!

Hum non, la contraposée du premier résultat que tu démontres est que si u/v est irrationnel, alors uZ+vZ n'est pas de la forme wZ. Cela dit, c'est presque terminé une fois ceci dit.

C'est que le résultat se trouve dans pas mal de bouquins de MPSI ou L1 alors c'est pour ça que je dit que c'est classique, si tu veut je peut le redémontrer.

sinon, uZ+vZ est un sous groupe de R et il n'est pas de la forme wZ donc il est dense dans R.

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 14:27

benekire2 a écrit:C'est que le résultat se trouve dans pas mal de bouquins de MPSI ou L1 alors c'est pour ça que je dit que c'est classique, si tu veut je peut le redémontrer.

Oui, le résultat est classique, mais que TU le considère classique, c'est un peu prématuré je pense :lol3:

sinon, uZ+vZ est un sous groupe de R et il n'est pas de la forme wZ donc il est dense dans R.

Maintenant, c'est bon :happy3:

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 14:32

Nightmare a écrit:Oui, le résultat est classique, mais que TU le considère classique, c'est un peu prématuré je pense :lol3:

Tu as sans doute raison :happy3:

De toute manière dans n'importe quel DS ou concours ça m'étonnerait qu'un correcteur laisse passer une phrase du genre " or tout les sous groupes additifs de R sont de la forme aZ ou sont dense dans R" en se disant que celui qui écrit ça connait la démo.

Pour la démo, on considère a=inf (x>0) ( avec les x de notre sous groupe H ..) et on montre que cette borne inf appartient au sous groupe, et on distingue a=0 ou non.( Enfin, c'est loin d'être trivial quand même )

Densité des sin(n) dans [-1,1]

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