Minimum de deux lois uniformes à densité

[Florix]

Bonjour,

Je ne vois pas comment résoudre l'énoncé suivant :

Soit X1 et X2 deux VAR indépendantes, définies sur le même espace probabilisable et suivant toutes les deux la loi uniforme sur l'intervalle [0,b] où b > 0. On définit les variables aléatoires suivantes :

Y = min (X1, X2)
Z = max (X1, X2)

1. Déterminer la fonction de répartition et une densité de Z. Ca j'ai réussi !

2. Déterminer la fonction de répartition et une densité de Y. Ca j'y arrive pas !!

J'ai pensé à ça mais ça m'a l'air très complique :

Y = X1 + X2 - max (X1,X2) = X1 + X2 - Z
Car bon il va falloir déterminer la densité et la fontion de répartition de X1 + X2, puis ensuite a t'on au moins le droit de soustraire Z ?? Ca m'étonnerait bcp

MErci d'avance pour vos réponses, et bonnes fêtes de fin d'année à tous

[fahr451]

pour le min il faut passer par la fonction de survie
P(Y>y), car {Y>y} = {X1>y}inter{X2>y}

[Florix]

A mon niveau (prépa HEC deuxième année) je ne connais pas la fonction de survie ! N'y a t'il pas une autre méthode ?

[fahr451]

? c 'est juste un mot oublie le mot fct de survie
écris juste {Y>y}...

[Florix]

Dois je faire comme ceci ? :

P ( Y < x ) = 1 - P (T > x) = 1 - P (X1 > X) P (X2 > X) = ????

Euh je vois pas trop ou je suis censé aller ?

[fahr451]

ben oui ...
P(X1>x) = 1-P(X1=

[Florix]

Mmouais... je suis pas sur d'avoir bien capté mais merci quand même ça m'aide ! :++:

[nuage]

Salut,
je ne conaissais pas non plus ce joli nom :"fonction de survie".
Mais le principe est trés simple :
On fait pour Y le même genre de calculs que pour Z.
Et en particulier comme te l'a indiqué fahr451

[fahr451]

nuage >
ce mot est "naturel" si on considère que X représente la durée de vie d 'un composant (électrique)
{X>t}" à la date t le composant est encore en état de marche"

[nuage]

@ fahr451
je connaissais , dans le même contexte et pour désigner la même chose, le nom "fonction de fiabilité".

A+

[fahr451]

connaissais pas celle là

[BQss]

Bonjour,

Je ne vois pas comment résoudre l'énoncé suivant :

Soit X1 et X2 deux VAR indépendantes, définies sur le même espace probabilisable et suivant toutes les deux la loi uniforme sur l'intervalle [0,b] où b > 0. On définit les variables aléatoires suivantes :

Y = min (X1, X2)
Z = max (X1, X2)

1. Déterminer la fonction de répartition et une densité de Z. Ca j'ai réussi !

2. Déterminer la fonction de répartition et une densité de Y. Ca j'y arrive pas !!

J'ai pensé à ça mais ça m'a l'air très complique :

Y = X1 + X2 - max (X1,X2) = X1 + X2 - Z
Car bon il va falloir déterminer la densité et la fontion de répartition de X1 + X2, puis ensuite a t'on au moins le droit de soustraire Z ?? Ca m'étonnerait bcp

MErci d'avance pour vos réponses, et bonnes fêtes de fin d'année à tous

Sinon pour ta methode elle etait juste, ce que tu as ecrit est bien le min, sauf que x1+x2 n'est pas independante de Z donc ta methode implique une methode generale quand on ne sait pas faire autrement c'est a dire:
-la densité de Z tu l'as, c'est la question precedente.
-la densité de x1+x2 vu qu'elles sont independantes se calcul aisement grace au produit de convolution(ca t'epargne des calculs, le produit de convolution si tu ne sais pas ce que c'est te donne ici la loi de la mesure image par la somme de deux var independantes representable donc grace a la mesure produit, on appelle cette nouvelle VAR U).
-Et enfin tu crées l'application bijective(un difféomorphisme en fait) qui a Z et U=x1+x2 associe Z et Y=U-Z.
-Tu en deduis la densité de la variable (Z,Y).
-Et enfin tu integres la densité de la variable (Z,Y) par rapport a la variable Z. Ce qu'il te reste dans l'integrale c'est alors la densité de Y(tu as reporté la mesure représentée par Z dans (Z,Y) sur chaque point de Y en fonction de Y, comme quand tu integres sur une surface ou y depend de x. Dans le cas discret cela revient a faire P(X=i) = P(Union_sur_k[(X=i)(inter)(Y=k)]) = Somme_sur_k(P[(X=i)(inter)(Y=k)]), ici c'est un cas continu, donc c'est une integrale et ca te donne une densité ou une mesure elementaire f(u)du si tu veux.)
-Avec de la chance c'est la densité d'une loi connu et donc tu connais sa fonction de repartition sinon tu retrouves la primitive si possible.


Donc tu vois que ta methode allait quelque part, mais comme tu l'as deviné, c'etait plus compliqué que ce qu'on t'as proposé. Cette methode s'applique pour des variables qui ne sont pas independantes lorsque l'on cherche la loi d'une VAR qui est fonction de ces VAR, ici il y a une methode bien plus simple...