Densité

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 21:53

Bonsoir ,j'ai du mal avec le terme 'dense' en mathématiques.Quelqu'un pourrait-il m'éclairer?

Ainsi,ai-je du mal a répondre a cet exercice:montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est dense dans Mn(C).

Merci.....

par **fahr451** » 30 Mai 2007, 22:04

A est dense dans E , E étant muni d'une distance ssi

pour tout élément e de Eil existe une suite (an) d'éléments de A telle que

lim an = e

"on peut approcher aussi près qu'on veut un élément quelconque de E par des éléments de A"

ici c'est faux une limite de matrices diagonales est nécessairement diagonale...

remplace diagonale par diagonalisable ça devient vrai

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 22:06

ah oui merci ,désolé pour l'erreur.

par **fahr451** » 30 Mai 2007, 22:11

commence par exemple par trigonaliser A et perturbe la un tout petit peu pour que les valeurs propres deviennent toutes distinctes

par **mehdi-128** » 31 Mai 2007, 07:51

Oui dans Mn(C) toute matrice est trigonalisable.Mais pourquoi veut-on des valeurs propres distinctes?

par **thomasg** » 31 Mai 2007, 08:00

Bonjour,

je pense que fahr a dit cela car:

Si U matrice carrée de dimension n admet n valeurs propres distinctes alors elle est diagonalisable.

Petites remarques complémentaires:
-tout d'abord la matrice est trigonalisable car C est algébriquement clos.
-pour perturber la matrice trigonale obtenue, tu peux lui rajouter la matrice diagonales dont les termes sur la diagonale sont: a/(p*i) en ligne i
en choisissant pour a une valeur inférieure à la distance entre deux valeurs propres distinctes
p entier naturel.

en faisant tendre p vers l'infini on obtient bien une suite de matrices diagonalisables.tendant vers la matrice diagonale obtenue.

A bientôt.

A bientôt.

par **mehdi-128** » 31 Mai 2007, 13:42

ok merci ,ca reste compliqué...

par **thomasg** » 01 Juin 2007, 09:41

Il y a une démonstration rédigée très clairement dans le gourdon d'algèbre.

par **yos** » 01 Juin 2007, 11:45

mehdi-128 a écrit:ok merci ,ca reste compliqué...

L'idée est assez simple : si tu prends une matrice complexe A non diagonalisable, son polynôme caractéristique possède des racines multiples. Imaginons qu'on ajoute un 1/n à l'un des coefs de A (par exemple celui en haut à gauche), on obtient alors une suite de matrices

qui converge vers A et qui ont de grosses chances d'être diagonalisables (il y a peu de chances que leur polynôme caractéristique ait lui des racines multiples : c'est rare les racines multiples (sauf dans les exercices il est vrai)).
Cependant il est pas facile de prouver ce que je viens de dire alors on cherche des suites

plus tordues parfois pour arriver au même résultat. Et il y a des tas de façons de procéder, ce qui fait qu'en lisant la preuve de untel on va se dire : "où a-t-il été pêcher une construction pareille?" Le mieux est de se trouver sa construction à soi.

par **mehdi-128** » 01 Juin 2007, 12:13

Ah ok merci beaucoup.

Densité

densité

Qui est en ligne