Densité

[Fulano]

Bonjour,
Mon intuition me dit que l'ensemble des 2^n/3^m (m et n dans N) est dense dans R+, mais je n'arrive pas à le démontrer.
Quelqu'un a-t-il une idée ?
Merci

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Ma première idée est de passer aux logarithmes.

[Imod]

C'est bien sûr la bonne idée , on peut aussi prendre m et n dans Z pour utiliser ensuite un résultat connu .
Imod

[Fulano]

Je cherche n et m tels que a<(2^n/3^m)<b, pour a et b arbitraires.
Je passe aux logarithmes, et je dois construire n et m tels que :
ln(a)/mln(2) + ln(3)/ln(2) < m/n < ln(b)/mln(2) + ln(3)/ln(2).
Ce qui me semble faisable, mais je ne vois pas précisément comment.
Merci pour votre aide.
P. S. : quel est donc ce résultat "connu" ?

[catamat]

Bonjour

Je pense que l'exercice 2 du lien suivant devrait t'éclairer

https://perso.eleves.ens-rennes.fr/peop ... de%20R.pdf

[Fulano]

Merci beaucoup !
Je n'ai pas encore regardé en détail, mais je pense qu'avec ça je vais y arriver.
Je vous tiens au courant.
Paquito.

[Fulano]

J'ai repris ma recherche sur mon exercice. J'obtiens que l'ensemble des 2^n/3^m est dense dans R*+, pour n et m dans Z. Mais qu'en est-il pour n et m dans N ? Pour ce que je veux en faire, des fréquences musicales, via des divisions de cordes, j'ai besoin que n et m soient positifs.
Merci pour vos idées.
Paquito

[Imod]

Si est un réel strictement positif . On cherche des entiers naturels et tels que soit aussi proche que l’on veut de . En notant et , on est ramené à chercher et pour que puisse approcher autant qu’on le souhaite . Comme les parties fractionnaires de sont denses dans , peut approcher à volonté . Il reste à multiplier par b pour conclure .

Imod

[Fulano]

Bonjour,
Merci pour ta réponse.
Mais d'une part, y/b pourrait ne pas appartenir à [0,1].
Et d'autre part, où est passé le m ?
Ou quelque chose m'échappe ?
Merci.
Paquito

[catamat]

Bonjour

Je pense qu'imod a voulu dire que
peut approcher la partie fractionnaire de à volonté
Donc
approche
ou
approche
et en multipliant par b :
approche

On aurait donc m=

Mais là se pose la question de savoir si m est positif...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
On passe au logarithme : l'exercice revient à montrer que est dense dans .
Le résultat classique sur les sous-groupes additifs de entraîne que est dense dans , puisque est irrationnel.
Soit et cherchons à approcher par un élément de à moins de donné. D'après le résultat rappelé plus haut, il existe tel que . Le minimum avec sert à s'assurer que ou est dans .
Supposons . et choisissons un entier naturel tel que . Alors il existe un (unique) entier naturel tel que . On a encadré entre deux éléments de distants de moins de , c'est gagné.
Je te laisse gagner dans le cas .

[Fulano]

Bonjour,
Je comprends l'idée générale, et le souci de savoir si e appartient à E ou pas.
Mais, mon cerveau faiblissant avec les années, je ne comprends pas la condition e<min(epsilon, ln(2)).
Si ça ne t'embête pas de la détailler un peu...
Merci pour l'intérêt que tu portes à mon problème.
Paquito

[GaBuZoMeu]

J'ai expliqué que cette condition sert à s'assurer que ou . Supposons que l'on ait eu l'idée farfelue de se donner . Alors on pourrait prendre , qui est tel que mais qui ne vérifie pas ni . La condition supplémentaire impose que dans l'écriture avec , et sont forcément de signes opposés.
Tu n'as pas dit comment gagner dans le cas .

[catamat]

Bonjour, de façon à faire avancer le sujet je propose ceci pour le cas "-e dans E" , en espérant ne pas faire trop d'erreurs...
D'abord une remarque sur ce résultat précédent :
Alors il existe un (unique) entier naturel tel que .

il est obtenu en choisissant égal à la partie entière de qui est positif
comme e>0 on obtient la double inégalité.

Dans l'autre situation, "-e dans E", on choisit cette fois k tel que
la partie entière de est positive on la note avec entier naturel
Donc

Comme -e<0 on obtient


Les bornes sont bien dans E et leur différence e est inférieure à epsilon.

[GaBuZoMeu]

Hum catamat !
Comment veux-tu trouver un entier naturel tel que quand ?
Ce n'est pas difficile à réparer, je te laisse y penser.

[GaBuZoMeu]

Fulano a l'air de s'être désintéressé du problème ....

[catamat]

Hum catamat !
Comment veux-tu trouver un entier naturel tel que quand ?
Ce n'est pas difficile à réparer, je te laisse y penser.

Oui merci GaBuZoMeu, après avoir posté je me suis douté qu'il y avait un problème à ce niveau....

Je pense que l'on choisit k entier naturel tel que
est alors la partie entière de et le reste marche comme précédemment avec au lieu de dans les deux bornes.

[GaBuZoMeu]

Ben voila ...
Je trouve que faire intervenir la partie entière n'éclaircit pas vraiment la démarche.
L'idée est qu'on peut trouver dans un tout petit pas montant ou un tout petit pas descendant. Si on a un petit pas montant, on part d'un élément "évident" de en-dessous de et on monte par petits pas en s'arrêtant dès qu'on dépasse . Si on a un petit pas descendant, on part d'un élément "évident" de au-dessus de et on descend par petits pas en s'arrêtant dès qu'on passe en dessous de . Dans les deux cas, le processus se termine bien par archimédianité.

[Fulano]

Bien chers tous,
Non, je ne me désintéresse pas du problème mais je n'ai pas toujours le temps nécessaire pour m'y consacrer.
De plus, rien ne presse... puisque c'est juste pour le plaisir de (re)faire un peu de mathématiques, sans contraintes.
Je vous remercie chaleureusement pour toutes vos contributions, et vous confirme que je vais y réfléchir dès que possible.
À bientôt donc.