Densité

[ftrfy]

Bonjour je suis en prépa Ece, et j'ai du mal sur un exercice de Variable aléatoire à densité:
J'ai une question d'analyse où j'ai du mal:
1)Montrer que, si x est positif, alors appartient à [0; 1[ et montrer que, si x est strictement nÈgatif, alors est strictement négatif.

1)je commence comme ça:
si





mais en quoi ça me dit que appartient à [0; 1[ ??

ensuite pour : si x est strictement nÈgatif, alors est strictement négatif.

si x<0
-x>0
e^-x >1
-e^-x<-1
< 0

j'aurais pu obtenir ce résultat par étude de fonction ? j'obtiens e^-x en dérivant
mais ensuite comment faire?



ENSUITE j'avais ceci:

2. On pose Y = et on admet que Y est une variable aléatoire,
admettant f comme densitÈ. On note FY sa fonction de répartition. et je sais que fx est paire car fx= si x<= -1 ou x>=1
a) Montrer que, pour tout réel x, on a : FY (x) = FX () FX ( ).
b) Montrer, sans expliciter la fonction FY , que Y est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité de Y et vérifier que Y suit une loi exponentielle dont on donnera le paramètre.

pour la a) c'est bon
pour la b) je bloque, pour montrer qu'une fonction est a densité, je montre les 2 points ( F continue sur R, C1, sauf peut terre en 0, OK
pourquoi je peux pas calculer l'intégrale de -infini à x ? et là dans le corrigé, il dérive, mais pourquoi?
C'est le théorème du transfert ?

merci

[Black Jack]

Salut.

1)

Etudier les variations de f(x) = 1 - e^-x pour x dans R

... qui permettra de montrer que f est croissante sur R

et avec f(0) = 0 et lim(x --> +oo) f(x) = 1
tu pourras conclure.

[ftrfy]

donc en faisant l'étude de la fonction

on trouve que la dérivé est e^-x

c'est strictement croissant sur R
et donc je calcule f(0) et limite f(x)

mais Pourquoi?

[pascal16]

explication de la partie x>0 pour de l'application ece :

f(x) = 1 - eˣ, pour x dans ℝ⁺

f peut représenter le taux d'équipement en TH UHD des français.
on se cale juste avant la vente de la première TV UHD
le nombre de TV augmente (f croissante).
mais est-ce que le taux d'équipement peut être infini ? Non, il doit être de 100% = 1 à la fin quand chaque foyer aura une TV UHD.
Une fonction ayant les caractéristiques requise est f(x) = 1 - e⁻(x)
si devant le x, on rajoute une constante positive, elle modifie la vitesse d'adoption
donc g(x) = 1 - e⁻(ax) correspond à une fonction que tu rencontrera dans les autres matières.

[ftrfy]

j'ai pas compris
enfaite jamais je fais de mise en situation comme tu as fait!

[Elias]

Salut, autre façon de voir les choses pour la partie 1.

Tu sais que la fonction exponentielle est strictement positive sur R: pour tout x réel, exp(x)>0.
Par ailleurs, tu sais aussi que cette fonction est strictement croissante sur R.


Si tu prends x >= 0, alors -x <= 0 donc exp(-x) <= exp(0) [car, exp étant strictement croissante sur R, le fait de prendre l'exponentielle ne change pas le sens de l'inégalité]. Ainsi, exp(-x) <= 1 (car exp(0)=1).

Du comme exp est strictement positive, tu peux même dire:
0 < exp(-x) <= 1

Donc -1 <= -exp(-x) < 0

Donc 0 <= 1-exp(-x) < 1

Dans cette dernière etape, on a ajouté 1 partout, ce qui (contrairement à ce que tu as fait) ne change pas le sens de l'inégalité.

Ce qui te donne ton résultat.

[ftrfy]

MERCI beaucoup!!!


et oui car d'habitude quand on multiplie par -1 on change le signe!!

mais comment faire pour le x négatif, la 2 ème partie de la question 1 ?

[Elias]

Là par contre, ce que tu as fait dans ton premier message pour le cas x négatif est correct.

[ftrfy]

merci beaucoup!
il me semble qu'il y'a une autre méthode en passant par la dérivé?
si je dérive, j'obtiens e^-x

et après comment j'aurais pu faire?
car je suis sur -infini, 0 non? car x est négatif

[Elias]

Si on dérive, on obtient en effet f ' (x) = exp(-x). Comme l'exponentielle est strictement positive sur R, on en déduit que pour tout x réel (même les négatifs), f'(x) > 0. Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur R.

Si tu fais son tableau de variation sur R, il faudra faire apparaître dans la 1ère ligne du tableau de variation :
-infini ; 0 et +infini.

En calculant la limite en -oo de f (définie par f(x)=1 - exp(-x) ), tu vas trouver -infini.
En calculant la limite en +oo de f , tu vas trouver 1.
En calculant f(0), tu trouve 0.

En "lisant" ainsi ton tableau de variation, tu constates directement que quand on prend x dans ]-infini;0], et bien f(x) est entre -oo et 0 (donc négatif) et quand on prend x dans [0;+infini[, f(x) est entre 0 et 1.

[ftrfy]

donc le tableau de variation me permet de répondre aux 2 parties de la question 1) ?

[Elias]

Exactement.

[ftrfy]

merci beaucoup!!