Complexes

par **maxime27** » 09 Sep 2009, 15:49

Salut à tous !

j'ai un petit blocage concernant un exo :

Soit z = exp(i2;)/5)
Posons u = z + z^4 ainsi que v = z² + z^3
Calculer u+v, uv. En déduire u et v.

pour u+v, je trouve 2cos(2;)/5)+2cos(4;)/5)
Le résutat devrait faire -1, mais je ne sais pas si avec ce que j'ai trouvé je peu débouché à ce résultat. Qu'en pensez-vous ?

par **yos** » 09 Sep 2009, 19:19

par **maxime27** » 10 Sep 2009, 18:24

j'ai entendu parlé de cela, mais je n'ai jamais apprit çà ... Si quelqu'un peut m'expliquer svp. J'ai trouver u + v = 2cos(2/5) + 2cos(4/5). Suis-je dans une impasse, sachant que l'on doit trouver -1 ?
Concernant u.v, j'ai trouver u.v = e(2i/5) + e(4i/5) + e(6i/5) + e(8i/5), suis-je sur la bonne voie ?

par **yos** » 10 Sep 2009, 20:43

donc u+v=-1 (et aussi uv=-1).

par **mathelot** » 11 Sep 2009, 05:43

bonjour,

il s'agit de cinq nombres complexes solutions de

ce sont les racines 5ème de l'unité.

A cause de la progression géométrique

les points ayant ces 5 nombres pour affixes sont les sommets d'un pentagone régulier.

le polynôme

, de la variable complexe z, étant à coefficients réels,sont conjugués deux à deux.

en groupant les racines conjuguées

pour calculer uv, on utilise la propriété

ce qui réduit les exposants des puissances de z:

modulo 5.

si n et p sont congrus modulo 5.

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