Nombres complexes de module 1 - Argument

[Manuman]

Bonjour à tous,

Je cherche à prouver que pour tout z=a+ib de module 1, avec z différent de -1
arg z = 2 arctan(b/(a+1))...

Et je dois avouer n'avoir aucune piste :mur: ...
Avez-vous déjà rencontré cet exo??
Merci d'avance!

[Sourire_banane]

Bonjour à tous,

Je cherche à prouver que pour tout z=a+ib de module 1, avec z différent de -1
arg z = 2 arctan(b/(a+1))...

Et je dois avouer n'avoir aucune piste :mur: ...
Avez-vous déjà rencontré cet exo??
Merci d'avance!

Salut,

Si tu traces a+ib dans le plan complexe (que tu associes exprès au plan euclidien muni d'un repère orthonormé pour cette fois), l'argument c'est l'angle que fait OM (M déterminé par la donnée du complexe) avec l'axe des abscisses.
Un petit dessin et de la trigo élémentaire te permettront de comprendre pourquoi.

[Sourire_banane]

Salut,

Il faut utiliser la formule de l'angle moitié pour tangente :

tan(arg(z)/2)=sin(arg(z)/2)/cos(arg(z)/2)=sin(theta)/2cos²(theta/2) avec arg(z)=theta, theta différent de pi car cos(pi/2)=0
2cos²(theta/2)=1+cos(2*theta/2)=1+cos(theta)
Donc tan(arg(z)/2)=sin(arg(z))/(1+cos(arg(z)))
Ce qui nous donne arg(z)=2arctan[sin(arg(z))/(1+cos(arg(z)))]
Or sin(theta) et cos(theta) sont respectivement b et a, ce qui nous permet de conclure :

Arg(z)=2arctan(b/(1+a))

[Manuman]

Salut Sourire_banane

Et merci beaucoup!!
Effectivement passer par la tangente de l'angle moitié ne m'avait pas effleuré l'esprit...

A+

[alm]

Salut
Généralement si et alors le calcule donne :[CENTER] [/CENTER]
Ce qui donne la formule désirée dans un cas plus général.