Les complexes encore les complexes

[mydoudouitsk]

Bonsoir, je n'arrive pas à terminer un exercice pourriez vous m'aider?

Voici l'énoncé:

quels sont les complexes z tel que =0

Avec cet énoncé j'en déduis que est un imaginaire pur. ( z ne l'est pas forcément si?)
donc j'ai dit que conjugué du quotient était égale à son opposé.

pour enfin trouver que le module de z vaut 1
donc z est de la forme
Et la je bloque pour trouver \theta j'ai essayé de passer par la formule d'Euler, mais ça me donne itan() (j'ai peut-être fait une erreur)
Mais je n'ai aucune idée pour déterminer

Pourriez vous m'aider?

[Ericovitchi]

Bonsoir,
En remplaçant simplement z par x+iy puis en multipliant par le conjugué du dénominateur pour qu'il n'y ait plus de i au dénominateur, tu n'auras plus qu'à écrire que la partie réelle est nulle pour trouver le lieu des solutions.

[mydoudouitsk]

n'y a t il pas une autre solution que de passer par la forme algébrique?

[Sylviel]

Je ne vois pas de solution simple... Pourquoi cela te gêne-t-il ? Peut-être qu'en écrivant (z-1)/(z+1)=ix, avec x réel quelconque tu peux t'en sortir, mais cela me semble plus compliqué.

[Doraki]

pour enfin trouver que le module de z vaut 1
donc z est de la forme

Si j'ai bien suivi ce que tu as fait, tu as du trouver que Re((z-1)/(z+1)) = 0 |z| = 1.
Normalement, là, t'as fini.

Il n'y a pas de question à se poser sur l'argument de z.



Si tu appelles A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe -1, tu peux aussi interpréter géométriquement la condition Re((z-1)/(z+1)) = 0 par "l'angle (MB, MA) est un angle droit".
Et faire un dessin.

[Sylviel]

Oups, oui Doraki a raison. Vu ce que tu as fait tu as terminé : tu cherches un ensemble de points, pas un point particulier ! En particulier tu peux donner une description géométrique de l'ensemble de point ici...

[mydoudouitsk]

Donc pour tout z de la forme le quotient de l'énoncé vaut un réel?
Alors pourquoi quand je remplace dans l'expression z par je ne trouve pas un réel mais un nombre complexe?

[Sylviel]

Non le quotient est un imaginaire pur, pas un réel...

Au fait c'est quoi les complexes de la forme e^i theta ?
Et t'es sûr qu'ils sont tous solution ?

[mydoudouitsk]

Oups oui pardon j'étais en train de faire un exo avec un quotient qui cette fois vaut un réel. petit mélange.
Sinon non effectivement tout n'est pas solution. z ne peut être un imaginaire pur que si vaut ou -

dans c'est cas là je dois écrire que non?

[Doraki]

La condition c'est pas "z est imaginaire pur", c'est "(z-1)/(z+1) est imaginaire pur".

[Sylviel]

En fait au tout début de l'exo tu as du écarter un complexe...

Et quel est l'ensemble que tu as trouvé (géométriquement parlant !)

[mydoudouitsk]

j'ai du écarter un complexe?
En ce qui concerne la géométrie je dirais que si |z|=1 alors z appartient au cercle trigonométrique.

[Sylviel]

(z-1)/(z+1) ?

[bentaarito]

j'ai du écarter un complexe?
En ce qui concerne la géométrie je dirais que si |z|=1 alors z appartient au cercle trigonométrique.

évidemment y a un point du cercle que tu dois écarter vu ton équation!
faut tjr commencer par déterminer l'ensemble de définition de sa formule :zen:

[mydoudouitsk]

donc z=e^{i} avec z différent de -1 soit différent de

c'est ça?

[Sylviel]

ça dépend, tu prends theta où ?

[mydoudouitsk]

je comprends pas la question. On est dans le cercle trigo et doit être différent de

Remarque z ne doit pas être égale à un non plus.

donc \théta = \{0;}
toujours pas?

[Sylviel]

z peut très bien être égal à 1 : 0 est bien un imaginaire pur !

Ma remarque était exactement ce que tu as souligné : si tu dis que theta est dans [0,2pi[ alors il suffit d'éliminer pi, si tu laisse theta varier dans R alors il ne faut pas oublier le +k2pi :-)

[mydoudouitsk]

Oui je m'en étais rendu compte au moment où j'ai envoyé le message j'ai donc modifié directement, les post ont du se croiser.
Merci pour la précision en 0, qui malheureusement pour moi était évidente :marteau:
Passez une excellente soirée! ou plutôt nuit.