Polynome et complexes

[Rockleader]

Voilà encore un exo sur lequel je bloque, enfin disons plutot que je ne comprends pas trop ce que je dois faire.





On pose

1- Calculer :

Je trouve

Est ce juste ?


Ensuite je n'ai rien fais encore:

2- Soit un P à coefficient complexe

Avec n supérieur ou égal à 1 et ak complexe pour tout k tel que 0 ou = 1



Poser:

En partant de k=0 à n (je l'ai pas mis sur le sigma car je sais pas comment faire ça en latex)

et calculer les coefficient Ck, 0<k<n en fonction des coefficient de P.
En déduire qu'il existe un unique polynome Q tel que:




Il y a encore d'autre question à la suite mais j'aimerais d'abord comprendre ce qu'il faut faire là.



3- Soit A un polynome à coefficient complexes, supposé tel que

A(x) = A(jX) = A(j²X)




Montrer qu'il existe un unique polynome B tel que





4- La quatrième ressemble trait pour trait à la troisième donc je pense pouvoir me débrouiller tout seul une fois la précédente faite.




Voilà merci pour l'éventuel coup de main, j'aimerais surtout comprendre ce qu'on nous demande de faire parce que c'est un peu flou pour moi là.

[wserdx]

1- affine ta réponse en fonction du reste de la division euclidienne de n par 3.
2-Utilise la question 1!
3-

[Rockleader]

1- affine ta réponse en fonction du reste de la division euclidienne de n par 3.
2-Utilise la question 1!
3-

Pour n=0, on a 3

Pour n=1 on a 0

Pour n=2 on a 0 aussi

Pour n=3 on a 3

Il se semble se dégager deux cas r=0 et r=3 mais je ne vois pas comment les différencier par rapport à n






Pour la suite je ne vois pas toujours pas !

[wserdx]

Examine plus simplement les cas où n est divisible par 3 et ceux où il ne l'est pas.

[Rockleader]

Examine plus simplement les cas où n est divisible par 3 et ceux où il ne l'est pas.

Pour n multiple de 3, on a 3

ET pour n non multiple de 3, on a 0


J'ai modifié le premier message, faute de frappe, pour le sigma, c'est de 0 à n et non de 0 à 2

[wserdx]

Voila.
Maintenant calcule et à l'aide de l'expression de

[Rockleader]

Voila.
Maintenant calcule et à l'aide de l'expression de

Oui mais on ne connait pas a valeur de n (si ce n'est qu'elle est multiple de 3) donc on ne sait pas quand est ce que l'on doit s'arrêter dans P

[wserdx]

Tu fais varier un indice de 0 jusqu'à
Si ça te pose problème, visualise , puis etc...

[Rockleader]

Co+C1X+C2X²+...+CkX^k



Avec Co = ao/3
C1=a1/3
etc etc

Enfin je crois, je sais pas trop.

[wserdx]

Ne brule pas les étapes.
Commence par évaluer et

[Rockleader]

Ne brule pas les étapes.
Commence par évaluer et

Pour P(jX) ça ferait quelque chose comme

ao + a1e^(2ipi/3)X + ... + ake^(2ipi/3)X^k


Pour P(j²X) pareil mais on a -4pi/3

[wserdx]

Bon, maintenant, ajoute , et en regroupant les termes de même degré!

[wserdx]

Pour P(jX) ça ferait quelque chose comme

ao + a1e^(2ipi/3)X + ... + ake^(2ipi/3)X^k


Pour P(j²X) pareil mais on a -4pi/3

Oups, je n'ai pas bien lu !
Concentre-toi, je ne vois pas les différentes puissances de j ...

[Rockleader]

Oups, je n'ai pas bien lu !
Concentre-toi, je ne vois pas les différentes puissances de j ...

Le premier j n'a pas de puissance !


Le second, je l'ai mis au carré e^(2ipi/3)² = e^(-4pi/9)

Je suis peut être aller un peu vite c'était pas -4pi/3 mais -4pi/9...

[wserdx]

Oui, c'est bien ce que je dis, concentre toi.
Reprends ce calcul, il est ... faux.

[Rockleader]

Oui, c'est bien ce que je dis, concentre toi.
Reprends ce calcul, il est ... faux.

Je comprends pas, on a bien la propriété telle que

(e^a)^n = e^na

Ici a= 2i pi/3

Donc au carré on a

e^2(2i pi/3)
e^4i pi/3

En effet je m'étais planté, est ce que c'est bon cette fois ?

[wserdx]

Va jusqu'au bout maintenant, fais tous les coefficients du polynôme.

[Rockleader]

Va jusqu'au bout maintenant, fais tous les coefficients du polynôme.

J'ai un doute, doit on conserver les coefficient a0, a1 etc etc de p(X) dans l'expression de P(j²X) ?

Si oui

a0 + a1(e^4i pi/3)X + ...+ ak(e^4i pi/3)X^k

[wserdx]

J'ai un doute. C'est quoi pour toi un polynôme ?
(C'est purement rhétorique, je veux dire pose-toi la question)

[Rockleader]

J'ai un doute. C'est quoi pour toi un polynôme ?
(C'est purement rhétorique, je veux dire pose-toi la question)

La définition que je m'en fais personnellement, surement fausse ce serait un corps réel ou imaginaire qui admet une représentation graphique