On considère un pentagone régulier : pour fixer les idées, lensemble des
points du plan complexe dont des sommets ont pour affixes les racines cinquièmes de
lunité, soit :
.
Le but de lexercice est détudier le groupe (pour la composition des applications) des
isométries du plan complexe qui laissent invariant ce pentagone. On notera la rotation
de centre lorigine et dangle , et la symétrie qui à un nombre complexe associe son conjugué.
.
1°) Vérifier que et laissent invariant l'ensemble .
Soit un élément de .
.
On remarque bien que pour variant dans , varie dans et donc on a bien .
Mais bon, je ne sais pas si ce serait crédible dans une copie par exemple...
Aurait-il fallu que je calcule pour ?
Comment aurais-t-on fait si on n'avait pas mais par exemple ?
De même, .
Là aussi, on a bien .
2°) Vérifier que les puissances successives de sont des rotations dont on donnera
langle, et déterminer lordre de .
;
est donc une rotation de centre l'origine et d'angle ;
;
est donc une rotation de centre l'origine et d'angle ;
;
est donc une rotation de centre l'origine et d'angle ;
;
Par contre, je ne vois pas comment qualifier : rotation de centre l'origine et d'angle ?
L'ordre de est donc .
3°) Pour , montrer que et sont des symétries par rapport à un axe passant par l'origine, dont on donnera langle par rapport à laxe réel.
Par contre, je n'arrive pas à donner les caractéristiques demandées :triste:
Je n'arrive pas de plus à calculer : .
Merci de m'éclairer.