Complexes

[chtirico]

Bonjour, pourriez-vous m'aider pour mon exercice :

Soit f la fonction qui a un complexe z associe lorsque c'est possible :
f(z) = z² / (z - 2i)

1. Déterminer le domaine de définition D de f.
OK j'ai D = C-{2i}

2a. Déterminer les racines carrées de 8 - 6i
J'ai trouvé z' = 3-i et z'' = -3+i

2b. En déduire les antécédents de 1+i par f
J'ai trouvé 2 et -1+i

3. Soit h un complexe. Discuter suivant les valeurs de h le nombre d'antécédents de h par f.
On doit résoudre :
h = z² / (z - 2i)
donc z² - h(z - 2i) = 0
donc z² -hz + 2hi = 0
Et là je ne sais pas comment continuer. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait.

[yos]

C'est juste.
Ensuite calcule delta.

[chtirico]

C'est juste.
Ensuite calcule delta.

Ok, alors :
delta = h² - 8hi
delta = (h - 4i)² + 16
donc delta est positif
donc h admet toujours deux antécédents.

Mais j'ai un doute car comment peut-on déterminer le signe de delta si il y a des "i" dedans

[Black Jack]

z² -hz + 2hi = 0 (avec z = 2i est interdit)

z = [h +/- (h² - 8hi)^(1/2)]/2

Ici, il n'est pas question d'étudier le signe de h² - 8hi, la notion de signe pour un nombre complexe ne veut rien dire.

quel que soit h, (h² - 4hi)^(1/2) est possible.

Mais si h² - 4hi = 0, il y aura une seule solution à l'équation, à condition qu'elle soit différente de 2i. Si une valeur de h amène z = 2i, cette valeur de h sera interdite.

si h² - 4hi est un complexe non nul, alors il y a 2 solutions à l'équation (sauf si une des solutions est z=2i)...

A toi de réfléchir à partir de cela.

:zen:

[chtirico]

z² -hz + 2hi = 0 (avec z = 2i est interdit)

z = [h +/- (h² - 8hi)^(1/2)]/2

Ici, il n'est pas question d'étudier le signe de h² - 8hi, la notion de signe pour un nombre complexe ne veut rien dire.

quel que soit h, (h² - 4hi)^(1/2) est possible.

Mais si h² - 4hi = 0, il y aura une seule solution à l'équation, à condition qu'elle soit différente de 2i. Si une valeur de h amène z = 2i, cette valeur de h sera interdite.

si h² - 4hi est un complexe non nul, alors il y a 2 solutions à l'équation (sauf si une des solutions est z=2i)...

A toi de réfléchir à partir de cela.

:zen:

merci c'est bon j'ai compris le principe !!!

4. La fonction est-elle surjective, injective de C-{2i} dans C ?
[COLOR=Blue]Pour injective, je me suis servi de la question 2b, comme f(2) = 1+i et f(-1+i) = 1+i alors f n'est pas injective
Pour surjective, je me suis servi de la question 3, comme h a toujours au moins un antécédent, alors f est surjective.
Mon raisonnement est-il bon ?[/COLOR]

[chtirico]

pourriez vous vérifier la question 4. merci