Complexes

[magnum]

bonjour,


soit n un entier naturel non nul et z un complexe ;

z^n = (z+1)^n = 1 ; démontrer que 6 divise n et z^3=1 .

une piste serait la bienvenue , merci.

[yos]

Il y a trop d'hypothèses.
z et z+1 sont de module 1. Donc et donc donc Re(z)=-1/2. Puis .

[fahr451]

bonsoir

faire un dessin


z est de module 1
donc m (z) sur le cercle unité

soit A(-1) on a

l z+1 l = lz l = 1

donc AM = OM et M est sur la médiatrice de OA

cette médiatrice recoupe le cercle unité en deux points

M1(j) et M2 (j^2)

les seuls solutions possibles sont donc j et j^2

qui sont des racines 3 ièmes de l'unité
j+1 = epx (ipi/3) est une racine 6 ième donc n multiple de 6

[magnum]

merci pour votre aide !