Complexes

[Georges10]

Bonsoir à tous.

Soit n ∈ N \ {0,1} et z₁ , z₂ , ....., zₙ les racines n-ièmes de l'unité, Alors, je veux savoir si
Zⁿ - 1 = (z-z₁)(z-z₂)......(z-zₙ) pour tout z ∈ C et
z₁z₂....zₙ = (-1)ⁿ⁻¹ sont vraies.

Selon moi z₁z₂....zₙ = (-1)ⁿ⁻¹ est vraie car en prenant z1= 1, z2= j et z3= j barre, on a bien z1z2z3 = 1
Pour l'autre quand je calcule z^3 - 1 je trouve que c'est égale à (z-1)(z-j)(z-j barre).

J'aimerais savoir votre avis. Peut être je me trompe.

Merci d'avance et bonne soirée !

[Georges10]

Bonjour...

[Ben314]

Salut,
LE truc de base à savoir concernant les polynômes (et qui est entrevu au Lycée), c'est que, si P est un polynôme (à coefficient réel ou complexe) et si a est une racine de P c'est à dire si P(a)=0 alors on peut factoriser (X-a) dans P, c'est à dire que P(X)=(X-a)Q(X) pour un certain polynôme Q (et à mon avis, c'est non seulement un résultat à connaitre, mais c'est plus que pas con d'en connaître au moins une preuve)

Une fois ce fait connu, ben ton truc est totalement trivial : ce qu'on appelle "les racines n-ièmes de l'unité", ben c'est les solutions de l'équation z^n=1, c'est à dire les racines du polynôme P(X)=X^n-1.
Et vu le rappel précédent, si on note x1,x2,...xn ces racines (modulo de savoir qu'il y en a bien n), ben ça signifie que X^n-1=(X-x1)(X-x2)...(X-xn)Q(X) pour un certain polynômes Q. Sauf que vu les termes dominants de X^n-1 et de (X-x1)(X-x2)...(X-xn), le polynôme Q est forcément constant et égal à 1 donc en fait X^n-1=(X-x1)(X-x2)...(X-xn).
Et si tu regarde le terme constant de (X-x1)(X-x2)...(X-xn), c'est (-x1)(-x2)...(-xn) et il est égal au terme constant de X^n-1, c'est à dire -1.
De même, si tu regarde le terme en X^(n-1) de (X-x1)(X-x2)...(X-xn), c'est -(x1+x2+...+xn) et il est égal au terme en X^(n-1) de X^n-1, c'est à dire 0 si n>=2 et -1 si n=1.

[Georges10]

Merci de me répondre.

Donc Zⁿ - 1 = (z-z₁)(z-z₂)......(z-zₙ) pour tout z ∈ C est vraie et
z₁z₂....zₙ = (-1)ⁿ⁻¹ est également vraie .