Complexes

[Georges10]

Bonsoir à tous

Svp je n'arrive pas à demontrer pourquoi est ce que lorsqu'on a |z + z'|=|z| + |z'| <=> z =0 ou ∃ α ∈ R⁺ , z'=αz

merci d'avance

[aviateur]

Suppose que et pose

alors
et

Donc |z+z'|=|z|+|z'| est équivalent à.....

[Georges10]

Merci je vois,
Mais si on avait PAS cette information : z =0 ou ∃ α ∈ R⁺ , z'=αz
Comment aurions nous procéder pour trouver les cas dans lesquels |z+z'|=|z|+|z'|

Merci.

[LB2]

Non justement, ce qu'il faut remarquer c'est qu'a priori alpha est complexe.
Mais que la condition que te donne aviateur est équivalente à alpha réel positif, ce qui est dans ton énoncé.

C'est le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.

Exercice : le généraliser à n complexes z1, z2, ...., zn

Cordialement

[aviateur]

Oui mais je comprends sa question comme cela .
Tu passes en cartésien z=x+iy , z'=x'+iy'. Tu élèves au carré bien sûr et après des simplifications on devrait voir
la proportionnalité positive de z et z'

[Georges10]

Oui c'est ça, cependant, mon problème est que je ne sais pas quelles transformations opérées pour aboutir au fait que z =0 ou ∃ α ∈ R⁺ , z'=αz

[Georges10]

LB2
Escuse moi de n'avoir pas fait l'exercice, au fait je veux rendre les choses clair dans ma tête d'abord
Merci.

[Pseuda]

Bonsoir,

On peut dire que z = affixe d'un vecteur u, z'=affixe d'un vecteur u'.
On a : |z| = ||u||, |z'|= ||u'||.
Donc |z+z'|=|z|+|z'| ssi ||u+u'||=||u||+||u'||, ssi u et u' sont colinéaires et de même sens.

Je ne sais pas si cela répond à ta question.

Sinon, l'idée d'aviateur est bonne :
.
On développe, réduit et on aboutit à : .
Comme , on obtient : .

[LB2]

Ou encore, pour le reformuler avec des vecteurs du plan euclidien :

Soit et
Montrer que = si et seulement si et sont colinéaires et de même sens.

Cela se démontre par exemple en élevant au carré :

après simplifications et identité remarquable. On obtient la CNS , c'est à dire que les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

Cordialement