(a,b) appartient à IR et 0<a<b
1)Montrez que la fonction f(x) = ln(1+ax)/ln(1+bx) est strictement croissant sur ]0;+oo[
2)Conclure que : ln(1+a/b) * ln(1+b/a) < ln(2)^2
Merci d'avance
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2 bons questions
par zerow2001 » 07 Jan 2019, 22:52
Salut Math-forums profs et étudiants:
(a,b) appartient à IR et 0<a<b
1)Montrez que la fonction f(x) = ln(1+ax)/ln(1+bx) est strictement croissant sur ]0;+oo[
2)Conclure que : ln(1+a/b) * ln(1+b/a) < ln(2)^2
Merci d'avance
(a,b) appartient à IR et 0<a<b
1)Montrez que la fonction f(x) = ln(1+ax)/ln(1+bx) est strictement croissant sur ]0;+oo[
2)Conclure que : ln(1+a/b) * ln(1+b/a) < ln(2)^2
Merci d'avance
Re: 2 bons questions
par IntegerX » 07 Jan 2019, 23:54
Pour la 1 tu peux essayer de tout simplement dériver puis étudier le signe.
Re: 2 bons questions
par Ben314 » 08 Jan 2019, 03:19
Salut,
\!=\!\dfrac{\ln(1\!+\!ax)}{\ln(1\!+\!bx)}\!\in\,]0,1[.\cr\text{Pour }\lambda\!\in\,]0,1[\text{ fix\'e, on a }f(x)\!\leq\!\lambda\Leftrightarrow (1\!+\!ax)\!\leq\!(1\!+\!bx)^\lambda\Leftrightarrow \varphi(x)\!\geq\!0\text{ o\`u }\varphi(x)\!=\!(1\!+\!bx)^\lambda\!-\!1\!-\!ax)
.
\!=\!\lambda b(1\!+\!bx)^{\lambda-1}\!-\!a\text{ et }\varphi''(x)\!=\!\lambda(\lambda\!-\!1)b^2(1\!+\!bx)^{\lambda-2}\!<\!0\text{ donc }\varphi'\text{ est d\'ecroissante et, comme})
\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to\infty}-a\!<\!0\text{ on a deux cas de figure possible :})
\!<\!\varphi(0)\!=\!0\text{ donc l'in\'equation}f(x)\!\leq\!\lambda\cr\ \ \text{n'a pas de solutions}.)
\!=\!0\text{ et que }\varphi(x)\mathop{\longrightarrow}\limits_{x\to\infty}-\infty\cr\ \ \text{c'est que l'in\'equation }f(x)\!\leq\!\lambda\text{ a pour solution un certain intervalle }]0,c_\lambda].)
\text{ alors }f(y)\!\leq\!\lambda\text{ donc }y\!\in\,]0,c_\lambda]\text{ c'est})
\!>\!f(y)\Leftrightarrow f(x)\!>\!\lambda\Leftrightarrow x\!\not\in\,]0,c_\lambda]\Leftrightarrow x\!>\!c_\lambda\Rightarrow x\!>\!y)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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