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Exo1
SoitX une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [o;1] (avec o<1).
On suppose que X1,.......,Xn sont n variables aléatoires indépendantes de meme loi que X .
on pose :
ôn = min {X1,....,Xn}
1. donne la fonction de repartition de ôn puis sa densité
2. Calculez E(ôn) et Var(ôn)
3. prouvez que ôn converge en probabilité vers o
4.donner une interprétation statistique de ce qui a été demontrer.
Exo2
Un joueur A joue contre un joueur B un nombre illimité de partie à pile ou face supposé indépendantes.
Lenjeu de chaque partie est de 1 et le jeu sarrête lorsquun des 2 joueurs est ruiné.
On suppose que la fortune initiale de A est de a tandis que B possède b (a
Lexemple de la roulette avec pour A un joueur qui parie sur une couleur et pour B le casino sinscrit exactement dans ce cadre.
On appel Xn la fortune du joueur A à linsu de la n ième partie.
Daprès lénoncé,la suite (Xn)n peut etre considérée comme une chaine de Markov à valeurs dans I={0, ,a+b} de loi initiale § et de matrice de transition P.
On note ,pour tout i appartenant à I :
Ti = inf{>=1 : Xn =i} et Pi[.] = P[.|Xo =i].
Enfin on considère les quantités suivantes :
Ri = Pi[T(o)
1-(p/q)^b
r(a)=____________
1-(p/q)^(a+b)
1. Donner § et P
2. Que represente les quantités T(o),T(a+b) et r(a) ?
3. On suppose c=1 .Calculez r(o) et r(c)
4.On suppose maintenant c>=2 :
a) Calculer r(o) et r(c)
b) On suppose maintenat que i appartient à {1, .,c-1} calculer r(i)
