Base orthonormée

[capitaine nuggets]

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour trouver une base orthonormée de pour le produit scalaire .

Je n'ai aucune idée...

[adrien69]

Salut, t'as que trois (4 en fait mais bon) polynômes à trouver.
Gram-Schmidt te sauvera !

[capitaine nuggets]

Salut !

Peux-tu me guider, je n'ai jamais pratiquer Gram-Schmidt ...

[jlb]

||1||²=int(de -1 à1) de 1dx =2 tu prends donc e1=1/rac(2)

tu enlèves la composante selon e1 de X : X-(e1,X)e1 tu normes ton vecteur, c'est e2

tu enlèves les composantes e1,e2 de X² : X²-(e1,X²)e1-(e2,X²)e2 tu normes c'est e3

tu enlèves les composantes e1,e2,e3 de X^3 ...


[procédé d'orthonormalisation de Schmit de la base 1,X,X²,X^3]

[capitaine nuggets]

1||²=2 tu prends donc e1=1/rac(2)

tu enlèves la composante selon e1 de X : X-(e1,X)e1 tu normes ton vecteur, c'est e2

tu enlèves les composantes e1,e2 de X² : X²-(e1,X²)e1-(e2,X²)e2 tu normes c'est e3

tu enlèves les composantes e1,e2,e3 de X^3 ...


[procédé d'orthonormalisation de Schmit de la base 1,X,X²,X^3]

Je ne comprends pas ton début :triste:
Qu'est-ce que "1||²=2" et d'où cela sort-il ?

[adrien69]

Il a oublié les deux barres verticales devant le 1.


Fais le calcul, ça tombe comme un fruit mûr.

[capitaine nuggets]

Je ne comprends pas ton début :triste:
Qu'est-ce que "1||²=2" et d'où cela sort-il ?

Ah !
En fait :
?
Mais je ne vois pas d'où sort ton .

[adrien69]

Faut normaliser, c'est de là que vient le . Tu divises 1 par sa norme.

[capitaine nuggets]

Ah donc en fait, si on appelle la base canonique de et la base orthogonale pour le produit scalaire alors :
?
D'où le ?

[adrien69]

Exactement :)

[capitaine nuggets]

Ok, merci !
Par contre, je ne comprends pas bien la suite pour obtenir .
Par quoi dois-je commencer ?
Ne procéderais-t-on pas comme pour ?
On calcule puis on trouve .

[adrien69]

Non. En fait le truc c'est de te dire que tu te places dans le plan
Et ensuite tu prends un vecteur temporaire tel que =0
Tu résous, ça te donne ta condition sur a
et ensuite tu n'as plus qu'à normaliser pour obtenir

[adrien69]

C'est juste super chaud à expliquer sans dessin...

[capitaine nuggets]

Non. En fait le truc c'est de te dire que tu te places dans le plan
Et ensuite tu prends un vecteur temporaire tel que .
Tu résous, ça te donne ta condition sur
et ensuite tu n'as plus qu'à normaliser pour obtenir

Ok, mais j'ai un petit problème :
.
Donc je trouve a=0, ce qui devrait être impossible, non ?

[adrien69]

Tu t'es planté dans ton calcul. Tu as dû oublier la définition de à mon avis.

[capitaine nuggets]

Tu t'es planté dans ton calcul. Tu as dû oublier la définition de à mon avis.

Ben on a trouvé donc je ne vois pas où j'ai pu me tromper :triste:

[adrien69]

En calculant sa norme.

[capitaine nuggets]

Je ne comprends pas :cry:

[jlb]

tu as juste: 1 et X sont orthogonaux ( tout comme 1 et X^3) pour ce produit scalaire

donc pour X tu le normes cela suffit! ||pas d'oubli cette fois ! X||²=2/3 d'où e2=rac(3)X/rac(2)

après calcule X²-(e1,X²)e1-(e2,X²)e2 = X²-(e1,X²)e1 car e2 et X² sont orthogonaux ( produit deg impaire) et tu normes pour avoir e3

tu finis avec X^3-(e1,X^3)e1 {ça vaut 0}-(e2,X^3)e2-(e3,x^3)e3 et tu normes, tu as e4

[capitaine nuggets]

tu as juste 1 et X sont orthogonaux ( tout comme 1 et X^3) pour ce produit scalaire

donc pour X tu le normes cela suffit! ||pas d'oubli cette fois ! X||²=2/3 d'où e2=rac(3)X/rac(2)

après calcule X²-(e1,X²)e1-(e2,X²)e2 = X²-(e1,X²)e1 e2 et X² sont orthogonaux ( produit deg impaire) et tu normes pour avoir e3

Je veux bien normer X mais pourquoi obtiens-tu ?

Pourquoi normer X ?
J'ai du mal à voir le déroulement du calcul.