Base orthonormée

[capitaine nuggets]

tu as juste 1 et X sont orthogonaux ( tout comme 1 et X^3) pour ce produit scalaire

donc pour X tu le normes cela suffit! ||pas d'oubli cette fois ! X||²=2/3 d'où e2=rac(3)X/rac(2)

après calcule X²-(e1,X²)e1-(e2,X²)e2 = X²-(e1,X²)e1 e2 et X² sont orthogonaux ( produit deg impaire) et tu normes pour avoir e3

Pourquoi normer X ?
J'ai du mal à voir le déroulement du calcul.

[jlb]

pourquoi normer X ? pour avoir une base orthonormée


J'ai du mal à voir le déroulement du calcul: c'est ||X||²=int(-1à1) de X.Xdx

bon pour visualiser le truc, dessine deux vecteurs non colinéaires, tu en choisis un pour premier vecteur de ta base. Que dois-tu modifier sur le deuxième pour qu'il soit orthogonal au premier? tu va voir sur le dessin que tu dois retirer la projection sur le premier vecteur.

après tu dois adapter tout cela avec ton produit scalaire

[capitaine nuggets]

En fait ce que je prends pour c'est la norme de en fait ?
Donc , c'est ça ?

[capitaine nuggets]

Du coup, je trouve :

donc sachant que , on a .
Mais qu'en faire après ?

[jlb]

En fait ce que je prends pour c'est la norme de en fait ?
Donc , c'est ça ?

là, tu suis les deux explications pas tout à fait identique en même temps. reprends tranquilement une des deux.

je reprends la mienne du début:

je pars de la base (1,X,X²,X^3): pour obtenir une base (e1,e2,e3,e4) orthonormale : (ei,ej)=0 pour i diff j et (ei,ei)=1

tu calcules (1,1)=2 pour avoir (e1,e1)=1 tu prends e1=1/rac(2)

après tu remarques que (1,X)=0 donc rien à faire, tu normes X pour avoir e2

(X,X)=int(-1à1)deX.Xdx=2/3 d'où e2=rac(3)x/rac(2)


pour e3: tu pars de X² on retire les composantes de X² suivant e1 et e2 déjà calculés

d'où X²-(e1,X²)e1-(e2,X²)e2 après tu normeras pour avoir e3

[capitaine nuggets]

là, tu suis les deux explications pas tout à fait identique en même temps. reprends tranquilement une des deux.

je reprends la mienne du début:

je pars de la base (1,X,X²,X^3): pour obtenir une base (e1,e2,e3,e4) orthonormale : (ei,ej)=0 pour i diff j et (ei,ei)=1

tu calcules (1,1)=2 pour avoir (e1,e1)=1 tu prends e1=1/rac(2)

après tu remarques que (1,X)=0 donc rien à faire, tu normes X pour avoir e2

(X,X)=int(-1à1)deX.Xdx=2/3 d'où e2=rac(3)x/rac(2)


pour e3: tu pars de X² on retire les composantes de X² suivant e1 et e2 déjà calculés

d'où X²-(e1,X²)e1-(e2,X²)e2 après tu normeras pour avoir e3

D'accord, reprenons ta méthode.

Pourquoi di-tu "on prends e1=1/rac(2)" ?
Après, tu dis que "(1,X)=0 donc rien à faire", mais pourquoi ? Qu'aurais-t-on eu à faire ?

[jlb]

'accord, reprenons ta méthode.

Pourquoi di-tu "on prends e1=1/rac(2)" ? pour avoir (e1,e1)=1 base orthoNORMEE


Après, tu dis que "(1,X)=0 donc rien à faire", mais pourquoi ?

int(-1à1)de 1.Xdx=0 donc en prenant e2=X/||X||, tu as bien (e1,e2)=0 et (e2,e2)=1

Qu'aurais-t-on eu à faire ? tu aurais sinon X=a.1+b.e2 donc pour trouver e2 il va y avoir un peu de boulot, c'est là où je te conseille le dessin, on va obtenir un vecteur orthogonal à e1 à partir de X en enlevant la projection sur e1 de X. Après pour avoir e2, tu normeras ce vecteur

[capitaine nuggets]

Nam, vraiment, je ne comprends plus rien... :mur: :cry:

J'arrive pas à savoir quand on norme et quand on ne norme pas.
Je suis un peu perdu...

[jlb]

bon, tu peux essayer de tout reprendre sans normer pour obtenir une base orthogonale et à la fin tu normes les vecteurs
[ ne pas oublier la def de (e1,e2,e3,4) base orthogonale (ei,ej)=0 pour i différent de j]

dans ce cas tu pars de e1=1

tu dis que X=e2 + ae1 tu calcules (e1,X)=(e1,e2) (c'est nul) + a.(e1,e1) tu obtiens alors a=(e1,X)/(e1,e1) et e2=X-((e1,X)/(e1,e1))e1

tu dis ensuite que X²=e3 + be2+ce1 tu calcules (e1,X²)=(e3,e1)+(be2,e1)+ c(e1,e1) tu as ainsi la valeur de c car (e1,e3)=(e2,e1)=0 tu calcules ensuite (e2,X²)=(e2,e3)+(be2,e2)+(ce1,e2) tu as ainsi la valeur de b

ainsi e3=X²-be2-ce1

tu continues ainsi X^3=e4+de3+fe2+ge1 tu cherches d,f,g avec la même méthode, ce qui te permettra d'ecrire e4

tu as donc (e1,e2,e3,e4) base ortogonale, tu normalises chaque vecteur pour en faire une base orthogonale

[jlb]

Ok, mais j'ai un petit problème :
.
Donc je trouve a=0, ce qui devrait être impossible, non ?

si c'est bon ( 1 et X sont orthogonaux)